Boolean simplifier

sajith tiyenshan

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Postulado booleano, propriedades e teoremas
O seguinte postulado, propriedades e teoremas são válidos na Álgebra Booleana e são usados ​​na simplificação de expressões lógicas ou funções:

POSTULADOS são verdades evidentes por si mesmas.

1a: $ A = 1 $ (se A ≠ 0) 1b: $ A = 0 $ (se A ≠ 1)
2a: $ 0 ∙ 0 = 0 $ 2b: $ 0 + 0 = 0 $
3a: $ 1 ∙ 1 = 1 $ 3b: $ 1 + 1 = 1 $
4a: $ 1 ∙ 0 = 0 $ 4b: $ 1 + 0 = 1 $
5a: $ \ overline {1} = 0 $ 5b: $ \ overline {0} = 1 $
PROPRIEDADES que são válidas em Álgebra Booleana são semelhantes às da álgebra comum

Comutativo $ A ∙ B = B ∙ A $ $ A + B = B + A $
Associativo $ A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C $ A + (B + C) = (A + B) + C $
Distributiva $ A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C $ A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C) $
OS TEOREMAS que são definidos na Álgebra Booleana são os seguintes:

1a: $ A ∙ 0 = 0 $ 1b: $ A + 0 = A $
2a: $ A ∙ 1 = A $ 2b: $ A + 1 = 1 $
3a: $ A ∙ A = A $ 3b: $ A + A = A $
4a: $ A ∙ \ overline {A} = 0 $ 4b: $ A + \ overline {A} = 1 $
5a: $ \ overline {\ overline {A}} = A $ 5b: $ A = \ overline {\ overline {A}} $
6a: $ \ overline {A ∙ B} = \ overline {A} + \ overline {B} $ 6b: $ \ overline {A + B} = \ overline {A} ∙ \ overline {B} $
Aplicando postulados, propriedades e / ou teoremas booleanos, podemos simplificar expressões booleanas complexas e construir um diagrama de blocos lógicos menor (circuito menos caro).

Por exemplo, para simplificar $ AB (A + C) $, temos:

$ AB (A + C) $ lei distributiva
= $ ABA + ABC $ lei cumulativa
= $ AAB + ABC $ teorema 3a
= $ AB + ABC $ lei distributiva
= $ AB (1 + C) $ teorema 2b
= $ AB1 $ teorema 2a
= $ AB $
Embora o acima seja tudo que você precisa para simplificar uma equação booleana. Você pode usar uma extensão dos teoremas / leis para facilitar a simplificação. O que segue irá reduzir a quantidade de etapas necessárias para simplificar, mas será mais difícil de identificar.

7a: $ A ∙ (A + B) = A $ 7b: $ A + A ∙ B = A $
8a: $ (A + B) ∙ (A + \ overline {B}) = A $ 8b: $ A ∙ B + A ∙ \ overline {B} = A $
9a: $ (A + \ overline {B}) ∙ B = A ∙ B $ 9b: $ A ∙ \ overline {B} + B = A + B $
10: $ A⊕B = \ overline {A} ∙ B + A ∙ \ overline {B} $
11: $ A⊙B = \ overline {A} ∙ \ overline {B} + A ∙ B $
⊕ = XOR, ⊙ = XNOR
Agora, usando esses novos teoremas / leis, podemos simplificar a expressão anterior desta forma.

Para simplificar $ AB (A + C) $, temos:

$ AB (A + C) $ lei distributiva
= $ ABA + ABC $ lei cumulativa
= $ AAB + ABC $ teorema 3a
= $ AB + ABC $ teorema 7b

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