Mathematical Methods

āĻāϤ⧇ āĻŦāĻŋāĻœā§āĻžāĻžāĻĒāύ āϰāϝāĻŧ⧇āϛ⧇
ā§§ā§Ļā§Ļ+
āĻĄāĻžāωāύāϞ⧋āĻĄ
āϏāĻžāĻŽāĻ—ā§āϰ⧀āϰ āϰ⧇āϟāĻŋāĻ‚
āĻĒā§āϰāĻ¤ā§āϝ⧇āϕ⧇
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ

āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒ āϏāĻŽā§āĻĒāĻ°ā§āϕ⧇

📘 āĻ—āĻžāĻŖāĻŋāϤāĻŋāĻ• āĻĒāĻĻā§āϧāϤāĻŋ āĻšāϞ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤ āĻŽā§‹āĻŦāĻžāχāϞ āĻļ⧇āĻ–āĻžāϰ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒ āϝāĻž āĻŦāĻŋāĻāϏ āĻ—āĻŖāĻŋāϤ, āĻŦāĻŋāĻāϏ āĻĒāĻĻāĻžāĻ°ā§āĻĨāĻŦāĻŋāĻĻā§āϝāĻž āĻāĻŦāĻ‚ āχāĻžā§āϜāĻŋāύāĻŋāϝāĻŧāĻžāϰāĻŋāĻ‚ āĻĄāĻŋāĻ—ā§āϰāĻŋ āĻ…āĻ°ā§āϜāύāĻ•āĻžāϰ⧀ āĻļāĻŋāĻ•ā§āώāĻžāĻ°ā§āĻĨā§€āĻĻ⧇āϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻĄāĻŋāϜāĻžāχāύ āĻ•āϰāĻž āĻšāϝāĻŧ⧇āϛ⧇āĨ¤ āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻ¸ā§āĻŽāĻžāĻ°ā§āϟ āĻāĻ•āĻžāĻĄā§‡āĻŽāĻŋāĻ• āϏāĻ™ā§āĻ—ā§€ āĻšāĻŋāϏāĻžāĻŦ⧇ āĻ•āĻžāϜ āĻ•āϰ⧇ āϝāĻž āϏ⧁āĻ—āĻ āĻŋāϤ āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧ, āϤāĻ¤ā§āĻ¤ā§āĻŦ-āĻ­āĻŋāĻ¤ā§āϤāĻŋāĻ• āύ⧋āϟ, āϏāĻŽāĻžāϧāĻžāύ āĻ•āϰāĻž MCQ āĻāĻŦāĻ‚ āĻŦāĻŋāώāϝāĻŧāĻ­āĻŋāĻ¤ā§āϤāĻŋāĻ• āϕ⧁āχāϜāϗ⧁āϞāĻŋ āĻ…āĻĢāĻžāϰ āĻ•āϰ⧇ — āϏāĻŦāχ āĻāĻ• āϜāĻžāϝāĻŧāĻ—āĻžāϝāĻŧāĨ¤
āĻ…āύ⧇āĻ• āĻŦāĻŋāĻļā§āĻŦāĻŦāĻŋāĻĻā§āϝāĻžāϞāϝāĻŧ⧇āϰ āĻļāĻŋāĻ•ā§āώāĻžāĻ°ā§āĻĨā§€āϰāĻž "āĻĒāĻĻāĻžāĻ°ā§āĻĨāĻŦāĻŋāĻœā§āĻžāĻžāύ⧇āϰ āĻ—āĻžāĻŖāĻŋāϤāĻŋāĻ• āĻĒāĻĻā§āϧāϤāĻŋ" āĻŦāĻž "āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒā§āϞāĻŋāϕ⧇āĻļāύ āϏāĻš āĻĄāĻŋāĻĢāĻžāϰ⧇āύāĻļāĻŋāϝāĻŧāĻžāϞ āχāϕ⧁āϝāĻŧ⧇āĻļāύ" āĻāϰ āĻŽāϤ⧋ āĻļāĻŦā§āĻĻ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰ āĻ•āϰ⧇ āĻāχ āϕ⧋āĻ°ā§āϏāϟāĻŋ āĻ…āύ⧁āϏāĻ¨ā§āϧāĻžāύ āĻ•āϰ⧇āĨ¤ āφāĻĒāύāĻŋ āωāĻ¨ā§āύāϤ āϧāĻžāϰāĻŖāĻžāϗ⧁āϞāĻŋ āϏāĻ‚āĻļā§‹āϧāύ āĻ•āϰāϛ⧇āύ āĻŦāĻž āĻ­āĻŋāĻ¤ā§āϤāĻŋāĻ—āϤ āĻŦā§‹āĻāĻžāĻĒāĻĄāĻŧāĻž āϤ⧈āϰāĻŋ āĻ•āϰāϛ⧇āύ āύāĻž āϕ⧇āύ, āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋ āĻāĻ•āϟāĻŋ āϏāϰāϞ⧀āĻ•ā§ƒāϤ āĻāĻŦāĻ‚ āĻ…ā§āϝāĻžāĻ•ā§āϏ⧇āϏāϝ⧋āĻ—ā§āϝ āĻŦāĻŋāĻ¨ā§āϝāĻžāϏ⧇ āĻ—āĻ­ā§€āϰ, āĻŦāĻŋāώāϝāĻŧ-āϕ⧇āĻ¨ā§āĻĻā§āϰāĻŋāĻ• āĻ•āĻ­āĻžāϰ⧇āϜ āĻ…āĻĢāĻžāϰ āĻ•āϰ⧇⧎
🔍 āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋ āϕ⧀ āĻ…āĻĢāĻžāϰ āĻ•āϰ⧇?
📗 āϏāĻŽā§āĻĒā§‚āĻ°ā§āĻŖ āϏāĻŋāϞ⧇āĻŦāĻžāϏ āĻŦāχ
āĻ—āĻžāĻŖāĻŋāϤāĻŋāĻ• āĻĒāĻĻā§āϧāϤāĻŋāϰ āϏāĻŽāĻ¸ā§āϤ āĻŽā§‚āϞ āϧāĻžāϰāĻŖāĻž āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧ-āĻ­āĻŋāĻ¤ā§āϤāĻŋāĻ• āĻŦāĻŋāĻ¨ā§āϝāĻžāϏ⧇ āĻ•āĻ­āĻžāϰ āĻ•āϰāĻž āĻšāϝāĻŧ⧇āϛ⧇āĨ¤ āĻĒā§āϰāϤāĻŋāϟāĻŋ āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧ⧇ āϏ⧁āĻ¸ā§āĻĒāĻˇā§āϟ āϏāĻ‚āĻœā§āĻžāĻž, āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ—āϤ āĻŦā§āϝāĻžāĻ–ā§āϝāĻž, āϏāĻŽāĻžāϧāĻžāύāĻ•ā§ƒāϤ āϏāĻŽāĻ¸ā§āϝāĻž āĻāĻŦāĻ‚ āĻĒā§āϰāϝāĻŧā§‹āϜāύ⧀āϝāĻŧ āϏ⧂āĻ¤ā§āϰ āϰāϝāĻŧ⧇āϛ⧇ — āĻāϟāĻŋ āĻ¸ā§āĻŦ-āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ āĻāĻŦāĻ‚ āĻĒāϰ⧀āĻ•ā§āώāĻžāϰ āĻĒā§āϰāĻ¸ā§āϤ⧁āϤāĻŋāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āφāĻĻāĻ°ā§āĻļāĨ¤
🧠 āĻ…āύ⧁āĻļā§€āϞāύ⧇āϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻāĻŽāϏāĻŋāĻ•āĻŋāω
āĻĒā§āϰāϤāĻŋāϟāĻŋ āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧ āĻ…āύ⧁āĻļā§€āϞāύ⧇āϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āϏāĻžāĻŦāϧāĻžāύ⧇ āύāĻŋāĻ°ā§āĻŦāĻžāϚāĻŋāϤ āĻŦāĻšā§āύāĻŋāĻ°ā§āĻŦāĻžāϚāύ⧀ āĻĒā§āϰāĻļā§āύ⧇āϰ (MCQ) āϏāĻ‚āĻ—ā§āϰāĻš āύāĻŋāϝāĻŧ⧇ āφāϏ⧇āĨ¤ āĻāϗ⧁āϞāĻŋ āϤāĻ¤ā§āĻ¤ā§āĻŦ āĻĒāĻĄāĻŧāĻžāϰ āĻĒāϰ⧇ āĻŦā§‹āĻāĻžāϰ āĻāĻŦāĻ‚ āĻĒāϰ⧀āĻ•ā§āώāĻž āĻœā§āĻžāĻžāύāϕ⧇ āĻļāĻ•ā§āϤāĻŋāĻļāĻžāϞ⧀ āĻ•āϰāϤ⧇ āϏāĻšāĻžāϝāĻŧāϤāĻž āĻ•āϰ⧇āĨ¤
📝 āϕ⧁āχāϜ
āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋāϤ⧇ āĻŦāĻŋāώāϝāĻŧ-āύāĻŋāĻ°ā§āĻĻāĻŋāĻˇā§āϟ āϕ⧁āχāϜ āϰāϝāĻŧ⧇āϛ⧇ āϝāĻž āĻļāĻŋāĻ•ā§āώāĻžāĻ°ā§āĻĨā§€āĻĻ⧇āϰ āύāĻŋāĻœā§‡āĻĻ⧇āϰ āĻŽā§‚āĻ˛ā§āϝāĻžāϝāĻŧāύ āĻ•āϰāϤ⧇ āϏāĻšāĻžāϝāĻŧāϤāĻž āĻ•āϰ⧇āĨ¤ āϏāĻŽāϝāĻŧ-āϏ⧀āĻŽāĻžāĻŦāĻĻā§āϧ āύāĻž āĻšāϞ⧇āĻ“, āĻāχ āϕ⧁āχāϜāϗ⧁āϞāĻŋ āϧāĻžāϰāĻŖāĻžāĻ—āϤ āĻāĻŦāĻ‚ āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻžāϏ⧂āϚāĻ• āĻĒā§āϰāĻļā§āύ⧇āϰ āĻŽāĻŋāĻļā§āϰāϪ⧇āϰ āĻŽāĻžāĻ§ā§āϝāĻŽā§‡ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ—āϤ āĻĒāϰ⧀āĻ•ā§āώāĻžāϰ āĻĒā§āϰāĻ¸ā§āϤāĻžāĻŦ āĻĻ⧇āϝāĻŧāĨ¤
📂 āϏāĻ‚āĻ—āĻ āĻŋāϤ āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧ āĻŦāĻŋāĻ¨ā§āϝāĻžāϏ
āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋāϤ⧇ āϏ⧁āϏāĻ‚āĻ—āĻ āĻŋāϤ āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧ āϰāϝāĻŧ⧇āϛ⧇ āϝāĻž āĻŦāĻŋāĻļā§āĻŦāĻŦāĻŋāĻĻā§āϝāĻžāϞāϝāĻŧ⧇āϰ āĻĒāĻžāĻ ā§āϝāĻ•ā§āϰāĻŽ āĻāĻŦāĻ‚ āϕ⧋āĻ°ā§āϏ⧇āϰ āϰ⧂āĻĒāϰ⧇āĻ–āĻžāϰ āϏāĻžāĻĨ⧇ āĻŽā§‡āϞ⧇āĨ¤ āĻāχ āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧāϗ⧁āϞāĻŋ āĻŽā§ŒāϞāĻŋāĻ• āĻĨ⧇āϕ⧇ āωāĻ¨ā§āύāϤ āĻŦāĻŋāώāϝāĻŧāϗ⧁āϞāĻŋāϰ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻĒāϰāĻŋāϏ⧀āĻŽāĻž āĻ…āĻ¨ā§āϤāĻ°ā§āϭ⧁āĻ•ā§āϤ āĻ•āϰ⧇āĨ¤

📚 āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋāϤ⧇ āĻ…āĻ§ā§āϝāĻžāϝāĻŧ āĻ…āĻ¨ā§āϤāĻ°ā§āϭ⧁āĻ•ā§āϤ:
1ī¸âƒŖ āĻĄāĻŋāĻĢāĻžāϰ⧇āύāĻļāĻŋāϝāĻŧāĻžāϞ āϏāĻŽā§€āĻ•āϰāϪ⧇āϰ āĻŦ⧁āύāĻŋāϝāĻŧāĻžāĻĻāĻŋ
2ī¸âƒŖ āϞāĻŋāύāĻŋāϝāĻŧāĻžāϰ āϏāĻŽāϜāĻžāϤ⧀āϝāĻŧ āĻĄāĻŋāĻĢāĻžāϰ⧇āύāĻļāĻŋāϝāĻŧāĻžāϞ āϏāĻŽā§€āĻ•āϰāĻŖ
3ī¸âƒŖ āĻ¸ā§āĻŦ-āĻ…ā§āϝāĻžāĻĄāϜāϝāĻŧ⧇āĻ¨ā§āϟ āĻāĻŦāĻ‚ āϏāĻŋāĻŽā§‡āĻŸā§āϰāĻŋāĻ• āĻ…āĻĒāĻžāϰ⧇āϟāϰ
4ī¸âƒŖ āĻ¸ā§āϟāĻ°ā§āĻŽ-āϞāĻŋāωāĻ­āĻŋāϞ āϤāĻ¤ā§āĻ¤ā§āĻŦ
5ī¸âƒŖ Eigenvalue āϏāĻŽāĻ¸ā§āϝāĻž
6ī¸âƒŖ āφāχāĻœā§‡āύ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ⧇ āϏāĻŽā§āĻĒā§āϰāϏāĻžāϰāĻŖ
7ī¸âƒŖ āĻĄāĻŋāĻĢāĻžāϰ⧇āύāĻļāĻŋāϝāĻŧāĻžāϞ āϏāĻŽā§€āĻ•āϰāϪ⧇āϰ āĻĒāĻžāĻ“āϝāĻŧāĻžāϰ āϏāĻŋāϰāĻŋāϜ āϏāĻŽāĻžāϧāĻžāύ
8ī¸âƒŖ āĻ•āĻŋāĻ‚āĻŦāĻĻāĻ¨ā§āϤāĻŋāϰ āϏāĻŽā§€āĻ•āϰāĻŖ āĻāĻŦāĻ‚ āĻŦāĻšā§āĻĒāĻĻ
9ī¸âƒŖ āĻŦ⧇āϏ⧇āϞ⧇āϰ āϏāĻŽā§€āĻ•āϰāĻŖ āĻāĻŦāĻ‚ āĻ•āĻžāĻ°ā§āϝāĻžāĻŦāϞ⧀
🔟 āϏāĻŦ⧁āĻœā§‡āϰ āĻ•āĻžāĻ°ā§āϝāĻžāĻŦāϞ⧀
1ī¸âƒŖ1ī¸âƒŖ āϏ⧀āĻŽāĻžāύāĻž āĻŽāĻžāύ āϏāĻŽāĻ¸ā§āϝāĻž

đŸŽ¯ āĻ•āĻžāϰ āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰ āĻ•āϰāĻž āωāϚāĻŋāϤ?
āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āωāĻĒāϝ⧁āĻ•ā§āϤ:
- āĻŦāĻŋāĻāϏ āĻ—āĻŖāĻŋāϤ āĻāĻŦāĻ‚ āĻŦāĻŋāĻāϏ āĻĒāĻĻāĻžāĻ°ā§āĻĨāĻŦāĻŋāĻœā§āĻžāĻžāύ⧇āϰ āĻļāĻŋāĻ•ā§āώāĻžāĻ°ā§āĻĨā§€āϰāĻž (āϏ⧇āĻŽāĻŋāĻ¸ā§āϟāĻžāϰ 5 āĻŦāĻž 6)
- āχāĻžā§āϜāĻŋāύāĻŋāϝāĻŧāĻžāϰāĻŋāĻ‚ āĻ¸ā§āύāĻžāϤāĻ• āϝāĻžāϰāĻž āĻĢāϞāĻŋāϤ āĻ—āĻŖāĻŋāϤ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύāϰāϤ
- āĻļāĻŋāĻ•ā§āώāĻžāĻ°ā§āĻĨā§€āϰāĻž eigenfunctions, Green āĻāϰ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ, āĻŦāĻž āĻŦāĻžāωāĻ¨ā§āĻĄāĻžāϰāĻŋ āĻ­ā§āϝāĻžāϞ⧁ āϏāĻŽāĻ¸ā§āϝāĻžāϰ āĻŽāϤ āĻŦāĻŋāώāϝāĻŧāϗ⧁āϞāĻŋāϤ⧇ āϏāĻžāĻšāĻžāĻ¯ā§āϝ āϖ⧁āρāϜāϛ⧇āύ
- āϝ⧇ āϕ⧇āω āĻāĻ•āϟāĻŋ āϏāϰāϞ⧀āĻ•ā§ƒāϤ āĻāĻŦāĻ‚ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ—āϤ āĻŽā§‹āĻŦāĻžāχāϞ āĻŦāĻŋāĻ¨ā§āϝāĻžāϏ⧇ "āĻĒāĻĻāĻžāĻ°ā§āĻĨāĻŦāĻŋāĻœā§āĻžāĻžāύ⧇āϰ āĻ—āĻžāĻŖāĻŋāϤāĻŋāĻ• āĻĒāĻĻā§āϧāϤāĻŋ" āĻ…āύ⧁āϏāĻ¨ā§āϧāĻžāύ āĻ•āϰāϛ⧇āύ

āφāĻĒāύāĻŋ āϏ⧇āĻŽāĻŋāĻ¸ā§āϟāĻžāϰ āĻĒāϰ⧀āĻ•ā§āώāĻž, āĻāĻ¨ā§āĻŸā§āϰāĻŋ āĻĒāϰ⧀āĻ•ā§āώāĻž āĻŦāĻž āĻŦāĻŋāĻļā§āĻŦāĻŦāĻŋāĻĻā§āϝāĻžāϞāϝāĻŧ⧇āϰ āϕ⧁āχāĻœā§‡āϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻĒā§āϰāĻ¸ā§āϤ⧁āϤāĻŋ āύāĻŋāĻšā§āϛ⧇āύ āύāĻž āϕ⧇āύ, āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋ āĻŽāĻžāύāϏāĻŽā§āĻĒāĻ¨ā§āύ āĻŦāĻŋāώāϝāĻŧāĻŦāĻ¸ā§āϤ⧁ āĻāĻŦāĻ‚ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰāĻ•āĻžāϰ⧀-āĻŦāĻžāĻ¨ā§āϧāĻŦ āχāĻ¨ā§āϟāĻžāϰāĻĢ⧇āϏ āĻĻāĻŋāϝāĻŧ⧇ āφāĻĒāύāĻžāϰ āϞāĻ•ā§āĻˇā§āϝāϗ⧁āϞāĻŋāϕ⧇ āϏāĻŽāĻ°ā§āĻĨāύ āĻ•āϰāĻŦ⧇āĨ¤

📌 āϗ⧁āϰ⧁āĻ¤ā§āĻŦāĻĒā§‚āĻ°ā§āĻŖ āύ⧋āϟ:
āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋ āĻĄāĻžāωāύāϞ⧋āĻĄ āĻāĻŦāĻ‚ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰ⧇āϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻ…āĻŦāĻžāϧ⧇ āωāĻĒāϞāĻŦā§āϧ āĻšāϞ⧇āĻ“, āĻāϤ⧇ āĻŦāĻŋāĻ•āĻžāĻļ āĻāĻŦāĻ‚ āϰāĻ•ā§āώāĻŖāĻžāĻŦ⧇āĻ•ā§āώāĻŖ āϏāĻŽāĻ°ā§āĻĨāύ āĻ•āϰāĻžāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒ-āĻŽāĻ§ā§āϝāĻ¸ā§āĻĨ āĻŦāĻŋāĻœā§āĻžāĻžāĻĒāύ āϰāϝāĻŧ⧇āϛ⧇āĨ¤ āϏāĻŽāĻ¸ā§āϤ āϏāĻžāĻŽāĻ—ā§āϰ⧀ āĻ•ā§āϰāϝāĻŧ āĻ›āĻžāĻĄāĻŧāĻžāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻ•ā§āϏ⧇āϏāϝ⧋āĻ—ā§āϝāĨ¤

📲 āĻāĻ–āύāχ āĻĄāĻžāωāύāϞ⧋āĻĄ āĻ•āϰ⧁āύ āĻāĻŦāĻ‚ āĻ—āĻžāĻŖāĻŋāϤāĻŋāĻ• āĻĒāĻĻā§āϧāϤāĻŋāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āϏāĻŦāĻšā§‡āϝāĻŧ⧇ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ—āϤ āĻļ⧇āĻ–āĻžāϰ āϏāϰāĻžā§āϜāĻžāĻŽāϗ⧁āϞāĻŋāϰ āĻŽāĻ§ā§āϝ⧇ āĻāĻ•āϟāĻŋāϤ⧇ āĻ…ā§āϝāĻžāĻ•ā§āϏ⧇āϏ āĻĒāĻžāύāĨ¤ āφāĻĒāύāĻžāϰ āĻĒā§āϰāĻ¸ā§āϤ⧁āϤāĻŋāϕ⧇ āϏāĻšāϜ, āĻŽāύ⧋āϝ⧋āĻ—ā§€ āĻāĻŦāĻ‚ āĻĒāϰ⧀āĻ•ā§āώāĻžāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻĒā§āϰāĻ¸ā§āϤ⧁āϤ āĻ•āϰ⧁āύ — āϝ⧇ āϕ⧋āύ⧋ āϏāĻŽāϝāĻŧ, āϝ⧇ āϕ⧋āύ⧋ āϜāĻžāϝāĻŧāĻ—āĻžāϝāĻŧāĨ¤
āφāĻĒāĻĄā§‡āϟ āĻ•āϰāĻž āĻšā§Ÿā§‡āϛ⧇
ā§Š āϏ⧇āĻĒ, ⧍ā§Ļ⧍ā§Ģ

āĻĄā§‡āϟāĻž āϏ⧁āϰāĻ•ā§āώāĻž

āĻĄā§‡āϭ⧇āϞāĻĒāĻžāϰ āϕ⧀āĻ­āĻžāĻŦ⧇ āφāĻĒāύāĻžāϰ āĻĄā§‡āϟāĻž āϏāĻ‚āĻ—ā§āϰāĻš āĻāĻŦāĻ‚ āĻļā§‡ā§ŸāĻžāϰ āĻ•āϰ⧇ āϤāĻž āĻĨ⧇āϕ⧇āχ āύāĻŋāϰāĻžāĻĒāĻ¤ā§āϤāĻž āĻŦā§āϝāĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻž āĻ•āĻžāϜ āĻ•āϰāĻž āĻļ⧁āϰ⧁ āĻ•āϰ⧇āĨ¤ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒ⧇āϰ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰ, āϕ⧋āύ āĻ…āĻžā§āϚāϞ⧇ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰ āĻ•āϰāĻž āĻšāĻšā§āϛ⧇ āĻāĻŦāĻ‚ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰāĻ•āĻžāϰ⧀āϰ āĻŦ⧟āϏ⧇āϰ āĻ­āĻŋāĻ¤ā§āϤāĻŋāϤ⧇ āĻĄā§‡āϟāĻž āĻ—ā§‹āĻĒāĻ¨ā§€ā§ŸāϤāĻž āĻāĻŦāĻ‚ āϏ⧁āϰāĻ•ā§āώāĻž āĻŦā§āϝāĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻž āφāϞāĻžāĻĻāĻž āĻšāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āĨ¤ āĻĄā§‡āϭ⧇āϞāĻĒāĻžāϰ āĻāχ āϤāĻĨā§āϝ āĻĒā§āϰāĻĻāĻžāύ āĻ•āϰ⧇āϛ⧇āύ āĻāĻŦāĻ‚ āϏāĻŽā§Ÿā§‡āϰ āϏāĻžāĻĨ⧇ āϏāĻžāĻĨ⧇ āϤāĻž āφāĻĒāĻĄā§‡āϟ āĻ•āϰāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āĨ¤
āϕ⧋āύāĻ“ āĻĄā§‡āϟāĻž āĻĨāĻžāĻ°ā§āĻĄ-āĻĒāĻžāĻ°ā§āϟāĻŋāϰ āϏāĻžāĻĨ⧇ āĻļā§‡ā§ŸāĻžāϰ āĻ•āϰāĻž āĻšā§ŸāύāĻŋ
āĻĄā§‡āϭ⧇āϞāĻĒāĻžāϰ āϕ⧀āĻ­āĻžāĻŦ⧇ āĻļā§‡ā§ŸāĻžāϰ āĻ•āϰāĻžāϰ āĻ•āĻĨāĻž āĻ˜ā§‹āώāĻŖāĻž āĻ•āϰ⧇āύ āϏ⧇āχ āϏāĻŽā§āĻĒāĻ°ā§āϕ⧇ āφāϰāĻ“ āϜāĻžāύ⧁āύ
āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒ āĻāχāϏāĻŦ āϧāϰāύ⧇āϰ āĻĄā§‡āϟāĻž āϏāĻ‚āĻ—ā§āϰāĻš āĻ•āϰāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇
āĻĄāĻŋāĻ­āĻžāχāϏ āĻŦāĻž āĻ…āĻ¨ā§āϝāĻžāĻ¨ā§āϝ āφāχāĻĄāĻŋ
āĻĄā§‡āϟāĻž āĻāύāĻ•ā§āϰāĻŋāĻĒā§āϟ āĻ•āϰāĻž āĻšā§ŸāύāĻŋ
āĻĄā§‡āϟāĻž āĻŽā§āϛ⧇ āĻĢ⧇āϞāĻž āϝāĻžāĻŦ⧇ āύāĻž

āύāϤ⧁āύ āϕ⧀ āφāϛ⧇

The new update of Mathematical Methods brings an improved learning experience for students of both Mathematics and Physics.

✨ What’s New:
- Complete syllabus with structured chapters.
- Wide range of MCQs and quizzes
- Enhanced user experience with smoother navigation
- Optimized content delivery for seamless access

This release is designed to make studying more effective, user-friendly, and supportive for exam preparation.