Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Obsahuje reklamy

Informace o aplikaci

Aplikace Parciální diferenciální rovnice
PDR je rovnice zahrnující parciální derivace neznámé funkce několika proměnných (obvykle prostoru a/nebo času).
Obecný tvar: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
Pro funkci u(x, y) nebo u(x, t):
Klasifikace podle řádu
První řád -” obsahuje pouze první parciální derivace
Druhý řád - nejběžnější ve fyzice (teplo, vlny, potenciál)
Tři klasické typy (lineární, druhého řádu)
1. Parabolická rovnice tepla/difúze:
2. Hyperbolická vlnová rovnice:
3. Eliptická Laplaceova rovnice:
Rozlišování vychází z diskriminantu v obecném tvaru Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + atd. = 0: parabolická, když B na druhou mínus 4AC = 0, hyperbolická, když >0, eliptická, když <0” analogicky s kuželosečkami.
Rovnice vedení tepla (nazývaná také difuzní rovnice) popisuje, jak se teplota šíří médiem v čase.
Vlnová rovnice popisuje šíření poruch (vibrace, zvuk, světlo, vodní vlny) médiem konečnou rychlostí.
Eliptické rovnice popisují ustálené (časově nezávislé) rovnovážné konfigurace – nikoli vývoj v čase. Klasickým příkladem je Laplaceova/Poissonova rovnice.
Hlavní metody řešení
Separace proměnných předpokládá u(x,t) = X(x)T(t)
Metoda charakteristik nebo rovnice prvního řádu
Integrální transformace Fourierova, Laplaceova
Greenovy funkce
Numerické metody - konečné diference, konečné prvky (pro případy bez řešení v uzavřeném tvaru)
Aplikace aplikuje numerické metody pro tepelné, vlnové a eliptické rovnice a mění parametry v dialogu. Výsledky se zobrazují graficky a v parametrech.