Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Indeholder annoncer

Om denne app

App Partielle differentialligninger
En partieldifferentialligning er en ligning, der involverer partielle afledninger af en ukendt funktion af flere variabler (typisk rum og/eller tid).
Generel form: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
For en funktion u(x, y) eller u(x, t):
Klassificering efter orden
Første orden -” indeholder kun første partielle afledninger
Anden orden - mest almindelig i fysik (varme, bølger, potentiale)
De tre klassiske typer (lineære, anden orden)
1. Parabolsk varme/diffusionsligning:
2. Hyperbolsk bølgeligning:
3. Elliptisk Laplaces ligning:
Skelnen kommer fra diskriminanten i den generelle form Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + osv. = 0: parabolsk når B i anden minus 4AC = 0, hyperbolsk når >0, elliptisk når <0” i analogi med keglesnit.
Varmeledningsligningen (også kaldet diffusionsligningen) beskriver, hvordan temperaturen spredes gennem et medium over tid.
Bølgeligningen beskriver udbredelsen af ​​forstyrrelser (vibrationer, lyd, lys, vandbølger) gennem et medium med en endelig hastighed.
Elliptiske ligninger beskriver stationære (tidsuafhængige) ligevægtskonfigurationer - ikke udvikling over tid. Det klassiske eksempel er Laplaces/Poissons ligning.

Vigtigste løsningsmetoder
Separation af variabler antager u(x,t) = X(x)T(t)
Metode til karakteristika eller førsteordensligninger
Integraltransformationer Fourier, Laplace
Greens funktioner
Numeriske metoder - endelige differenser, endelige elementer (for tilfælde uden lukkede løsninger)
Applikationen anvender numeriske metoder til varme-, bølge- og elliptiske ligninger og ændrer parametre i dialogboksen. Resultaterne vises grafisk og i parametre.