Partial Differential Equations

ivan gabrovski

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Anwendung Partielle Differentialgleichungen
Eine partielle Differentialgleichung (PDE) ist eine Gleichung, die partielle Ableitungen einer unbekannten Funktion mehrerer Variablen (typischerweise Raum und/oder Zeit) enthält.
Allgemeine Form: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
Für eine Funktion u(x, y) oder u(x, t):
Klassifizierung nach Ordnung
Erste Ordnung – enthält nur erste partielle Ableitungen
Zweite Ordnung – am häufigsten in der Physik (Wärme, Wellen, Potenzial)
Die drei klassischen Typen (linear, zweite Ordnung)
1. Parabolische Wärmeleitungsgleichung
2. Hyperbolische Wellengleichung
3. Elliptische Laplace-Gleichung
Die Unterscheidung ergibt sich aus der Diskriminante in der allgemeinen Form Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + usw. = 0: parabolisch, wenn B² - 4AC = 0, hyperbolisch, wenn >0, elliptisch, wenn <0 – analog zu Kegelschnitten.

Die Wärmeleitungsgleichung (auch Diffusionsgleichung genannt) beschreibt die zeitliche Ausbreitung von Temperatur in einem Medium.
Die Wellengleichung beschreibt die Ausbreitung von Störungen (Schwingungen, Schall, Licht, Wasserwellen) in einem Medium mit endlicher Geschwindigkeit.
Elliptische Gleichungen beschreiben stationäre (zeitunabhängige) Gleichgewichtszustände – nicht die zeitliche Entwicklung. Das klassische Beispiel ist die Laplace-/Poisson-Gleichung.
Wichtigste Lösungsverfahren:
Trennung der Variablen (u(x,t) = X(x)T(t))
Charakteristikenmethode oder Differentialgleichungen erster Ordnung
Integraltransformationen (Fourier, Laplace)
Greensche Funktionen
Numerische Methoden – Finite Differenzen, Finite Elemente (für Fälle ohne geschlossene Lösung)
Die Anwendung wendet numerische Methoden für Wärme-, Wellen- und elliptische Gleichungen an und ermöglicht die Änderung von Parametern im Dialog. Die Ergebnisse werden grafisch und in den Parametern angezeigt.