Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Περιέχει διαφημίσεις

Περιγραφή εφαρμογής

Εφαρμογή Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Μια ΜΔΕ είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει μερικές παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης πολλών μεταβλητών (συνήθως χώρου ή/και χρόνου).
Γενική Μορφή: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
Για μια συνάρτηση u(x, y) ή u(x, t):
Ταξινόμηση κατά Τάξη
Πρώτης τάξης -” περιέχει μόνο τις πρώτες μερικές παραγώγους
Δεύτερης τάξης - η πιο συνηθισμένη στη φυσική (θερμότητα, κύματα, δυναμικό)
Οι Τρεις Κλασικοί Τύποι (γραμμικός, δεύτερης τάξης)
1. Παραβολική εξίσωση θερμότητας/διάχυσης:
2. Υπερβολική κυματική εξίσωση:
3. Ελλειπτική εξίσωση Laplace:
Η διάκριση προέρχεται από τη διακρίνουσα στη γενική μορφή Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + και ούτω καθεξής = 0: παραβολική όταν B στο τετράγωνο μείον 4AC = 0, υπερβολική όταν >0, ελλειπτική όταν <0” κατ' αναλογία με τις κωνικές τομές.
Η εξίσωση αγωγιμότητας θερμότητας (που ονομάζεται επίσης εξίσωση διάχυσης) περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο η θερμοκρασία εξαπλώνεται σε ένα μέσο με την πάροδο του χρόνου.
Η εξίσωση κύματος περιγράφει τη διάδοση διαταραχών (δονήσεις, ήχος, φως, κύματα νερού) μέσω ενός μέσου με πεπερασμένη ταχύτητα.
Οι ελλειπτικές εξισώσεις περιγράφουν διαμορφώσεις ισορροπίας σταθερής κατάστασης (ανεξάρτητη από τον χρόνο) — όχι εξέλιξη με την πάροδο του χρόνου. Το κλασικό παράδειγμα είναι η εξίσωση Laplace/Poisson.
Κύριες μέθοδοι λύσης
Ο διαχωρισμός μεταβλητών υποθέτει u(x,t) = X(x)T(t)
Μέθοδος χαρακτηριστικών ή εξισώσεων πρώτης τάξης
Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί Fourier, Laplace
Συναρτήσεις Green
Αριθμητικές μέθοδοι - πεπερασμένες διαφορές, πεπερασμένα στοιχεία (για περιπτώσεις χωρίς λύσεις κλειστής μορφής)
Η εφαρμογή εφαρμόζει αριθμητικές μεθόδους για εξισώσεις θερμότητας, κύματος και ελλειπτικές εξισώσεις και αλλάζει παραμέτρους σε παράθυρο διαλόγου. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται γραφικά και σε παραμέτρους.