Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Sisaldab reklaame

Rakenduse teave

Rakenduse osatuletistega diferentsiaalvõrrandid
Osatuletistega diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis hõlmab mitme muutuja (tavaliselt ruum ja/või aeg) tundmatu funktsiooni osatuletisi.
Üldine vorm: F(x,y,u,u_dx,u_dy, ...)=0
Funktsiooni u(x, y) või u(x, t) puhul:
Klassifikatsioon järgu järgi
Esimest järku -” sisaldab ainult esimesi osatuletisi
Teist järku - kõige levinum füüsikas (soojus, lained, potentsiaal)
Kolm klassikalist tüüpi (lineaarne, teist järku)
1. Paraboolne soojus-/difusioonivõrrand:
2. Hüperboolse lainevõrrand:
3. Elliptiline Laplace'i võrrand:
Erinevus tuleneb diskriminandist üldkujul Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + ja nii edasi = 0: paraboolne, kui B ruudus miinus 4AC = 0, hüperboolne, kui >0, elliptiline, kui <0” analoogia põhjal koonuslõigetega.
Soojusjuhtivuse võrrand (nimetatakse ka difusioonivõrrandiks) kirjeldab, kuidas temperatuur levib keskkonnas aja jooksul.
Lainevõrrand kirjeldab häiringute (vibratsioonide, heli, valguse, veelainete) levikut keskkonnas lõpliku kiirusega.
Elliptilised võrrandid kirjeldavad statsionaarseid (ajast sõltumatuid) tasakaalukonfiguratsioone – mitte evolutsiooni ajas. Klassikaline näide on Laplace'i/Poissoni võrrand.
Peamised lahendusmeetodid
Muutujate eraldamine eeldab, et u(x,t) = X(x)T(t)
Karakteristikute või esimese järgu võrrandite meetod
Integraalteisendused: Fourier, Laplace
Greeni funktsioonid
Numbrilised meetodid – lõplikud diferentsid, lõplikud elemendid (juhtudeks, kus pole suletud kujuga lahendeid)
Rakendus rakendab numbrilisi meetodeid soojus-, laine- ja elliptiliste võrrandite jaoks ning muudab parameetreid dialoogis. Tulemused kuvatakse graafiliselt ja parameetritena.