Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Sisältää mainoksia

Tietoa sovelluksesta

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden sovellus
Osittainen differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion osittaisderivaattoja useista muuttujista (tyypillisesti avaruus ja/tai aika).
Yleinen muoto: F(x,y,u,u_dx,u_dy, ...)=0
Funktiolle u(x, y) tai u(x, t):
Luokittelu kertaluvun mukaan
Ensimmäisen kertaluvun -” sisältää vain ensimmäiset osittaisderivaattoja
Toisen kertaluvun - yleisin fysiikassa (lämpö, ​​aallot, potentiaali)
Kolme klassista tyyppiä (lineaarinen, toisen kertaluvun)
1. Parabolinen lämpö-/diffuusioyhtälö:
2. Hyperbolinen aaltoyhtälö:
3. Elliptinen Laplacen yhtälö:
Ero tulee diskriminantista yleisessä muodossa Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + ja niin edelleen = 0: parabolinen, kun B neliö miinus 4AC = 0, hyperbolinen, kun >0, elliptinen, kun <0” analogisesti kartioleikkauksien kanssa.
Lämmönjohtavuusyhtälö (jota kutsutaan myös diffuusioyhtälöksi) kuvaa, miten lämpötila leviää väliaineessa ajan kuluessa.
Aaltoyhtälö kuvaa häiriöiden (värähtelyjen, äänen, valon, vesiaaltojen) etenemistä väliaineessa äärellisellä nopeudella.
Elliptiset yhtälöt kuvaavat tasapainotilaa (ajasta riippumattomia) – eivät kehitystä ajan kuluessa. Klassinen esimerkki on Laplacen/Poissonin yhtälö.
Pääasialliset ratkaisumenetelmät
Muuttujien erottelu olettaa, että u(x,t) = X(x)T(t)
Ominaiskäyrämenetelmä tai ensimmäisen kertaluvun yhtälöt
Integraalimuunnokset: Fourier, Laplace
Greenin funktiot
Numeeriset menetelmät – äärelliset differenssimenetelmät, äärelliset elementit (tapauksiin, joissa ei ole suljetun muodon ratkaisuja)
Sovellus soveltaa numeerisia menetelmiä lämpö-, aalto- ja elliptisiin yhtälöihin ja muuttaa parametreja valintaikkunassa. Tulokset näkyvät graafisesti ja parametreina.