Partial Differential Equations

ivan gabrovski

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À propos de l'application

Équations aux dérivées partielles (EDP)

Une EDP est une équation faisant intervenir les dérivées partielles d'une fonction inconnue de plusieurs variables (généralement l'espace et/ou le temps).

Forme générale : F(x, y, u, u_dx, u_dy, ...) = 0

Pour une fonction u(x, y) ou u(x, t) :

Classification par ordre

Premier ordre : ne contient que les dérivées partielles premières.

Deuxième ordre : le plus courant en physique (chaleur, ondes, potentiel).

Les trois types classiques (linéaires, du second ordre) :

1. Équation parabolique de la chaleur/diffusion :

2. Équation d'onde hyperbolique :

3. Équation de Laplace elliptique :

La distinction provient du discriminant sous la forme générale Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + ... = 0 : parabolique lorsque B² - 4AC = 0, hyperbolique lorsque > 0, elliptique lorsque < 0, par analogie avec les coniques. L'équation de conduction thermique (ou équation de diffusion) décrit la propagation de la température dans un milieu au fil du temps.

L'équation d'onde décrit la propagation des perturbations (vibrations, son, lumière, vagues) dans un milieu à une vitesse finie.

Les équations elliptiques décrivent des configurations d'équilibre stationnaires (indépendantes du temps), et non leur évolution temporelle. L'exemple classique est l'équation de Laplace-Poisson.

Principales méthodes de résolution :

Séparation des variables : u(x,t) = X(x)T(t)

Méthode des caractéristiques ou équations du premier ordre

Transformations intégrales : Fourier, Laplace

Fonctions de Green

Méthodes numériques : différences finies, éléments finis (pour les cas sans solution analytique)

L'application applique des méthodes numériques aux équations de la chaleur, des ondes et elliptiques et permet de modifier les paramètres via une boîte de dialogue. Les résultats sont affichés graphiquement et en fonction des paramètres.