Partial Differential Equations

ivan gabrovski

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Equazioni alle derivate parziali (PDE)
Un'equazione alle derivate parziali è un'equazione che coinvolge le derivate parziali di una funzione incognita di più variabili (tipicamente spazio e/o tempo).

Forma generale: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
Per una funzione u(x, y) o u(x, t):
Classificazione per ordine
Primo ordine: contiene solo le derivate parziali prime
Secondo ordine: il più comune in fisica (calore, onde, potenziale)
I tre tipi classici (lineare, secondo ordine)
1. Equazione parabolica di diffusione/calore:
2. Equazione iperbolica delle onde:
3. Equazione ellittica di Laplace:
La distinzione deriva dal discriminante nella forma generale Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + e così via = 0: parabolica quando B al quadrato meno 4AC = 0, iperbolica quando >0, ellittica quando <0, per analogia con le sezioni coniche.

L'equazione di conduzione del calore (chiamata anche equazione di diffusione) descrive come la temperatura si propaga attraverso un mezzo nel tempo.

L'equazione d'onda descrive la propagazione di perturbazioni (vibrazioni, suono, luce, onde d'acqua) attraverso un mezzo a velocità finita.
Le equazioni ellittiche descrivono configurazioni di equilibrio stazionarie (indipendenti dal tempo), non l'evoluzione nel tempo. L'esempio classico è l'equazione di Laplace/Poisson.
Metodi di soluzione principali
La separazione delle variabili presuppone u(x,t) = X(x)T(t)
Metodo delle caratteristiche o delle equazioni del primo ordine
Trasformate integrali di Fourier e Laplace
Funzioni di Green
Metodi numerici: differenze finite, elementi finiti (per casi senza soluzioni in forma chiusa)
L'applicazione applica metodi numerici per le equazioni del calore, delle onde e ellittiche e modifica i parametri in una finestra di dialogo. I risultati vengono visualizzati graficamente e in termini di parametri.