Partial Differential Equations

ivan gabrovski

広告が表示されます

このアプリについて

偏微分方程式（PDE）とは、複数の変数（通常は空間および／または時間）の未知関数の偏微分を含む方程式です。

一般形：F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
関数 u(x, y) または u(x, t) の場合：
次数による分類
1次 - 1次偏微分のみを含む
2次 - 物理学（熱、波動、ポテンシャル）で最も一般的
3つの古典的なタイプ（線形、2次）
1. 放物型熱拡散方程式：
2. 双曲型波動方程式：
3. 楕円型ラプラス方程式：
これらの区別は、一般形 Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + ... = 0 の判別式から来ています。Bの2乗 - 4AC = 0 の場合、放物型、>0 の場合、双曲型、<0 の場合、楕円型となります。これは円錐曲線との類推によるものです。

熱伝導方程式（拡散方程式とも呼ばれる）は、媒体中における温度が時間とともにどのように伝播するかを記述します。

波動方程式は、媒体中を有限の速度で伝播する擾乱（振動、音、光、水波など）を記述します。

楕円型方程式は、定常状態（時間に依存しない）の平衡状態を記述し、時間経過に伴う変化は記述しません。代表的な例はラプラス方程式／ポアソン方程式です。

主な解法
変数分離法（u(x,t) = X(x)T(t) を仮定）
特性曲線法または一次方程式法
積分変換（フーリエ変換、ラプラス変換）
グリーン関数
数値解法（有限差分法、有限要素法）（閉形式解がない場合）
このアプリケーションは、熱伝導方程式、波動方程式、楕円型方程式に対して数値解法を適用し、ダイアログでパラメータを変更します。結果はグラフとパラメータで表示されます。