Multivariable Calculus

αž˜αžΆαž“β€‹αž€αžΆαžšαž•αŸ’αžŸαžΆαž™β€‹αž–αžΆαžŽαž·αž‡αŸ’αž‡αž€αž˜αŸ’αž˜αž‘αž·αž‰αž“αŸ…αž€αŸ’αž“αž»αž„αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈ
αž…αŸ†αžŽαžΆαžαŸ‹αžαŸ’αž“αžΆαž€αŸ‹αžαŸ’αž›αžΉαž˜αžŸαžΆαžš
αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž‚αŸ’αž“αžΆ
500+
αž€αžΆαžšαž‘αžΆαž‰αž™αž€
αž…αŸ†αžŽαžΆαžαŸ‹αžαŸ’αž“αžΆαž€αŸ‹αžαŸ’αž›αžΉαž˜αžŸαžΆαžš
αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž‚αŸ’αž“αžΆ
αž‘αž·αž‰αž“αŸ…β€‹αž€αŸ’αž“αž»αž„αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈ
αžŸαŸ’αžœαŸ‚αž„αž™αž›αŸ‹αž”αž“αŸ’αžαŸ‚αž˜
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹

αž’αŸ†αž–αžΈβ€‹αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž“αŸαŸ‡

αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž‚αŸ’αžšαž„αž˜αžΌαž›αžŠαŸ’αž‹αžΆαž“αž‚αŸ’αžšαžΉαŸ‡αž“αŸƒαž€αžΆαžšαž‚αžŽαž“αžΆαž’αžαŸαžšαž…αŸ’αžšαžΎαž“αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαžŸαž·αž€αŸ’αžŸαžΆαžŠαŸαž‘αžΌαž›αŸ†αž‘αžΌαž›αžΆαž™αž“αŸαŸ‡ αžŠαŸ‚αž›αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αžšαž…αž“αžΆαž‘αžΎαž„αžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αžŸαž·αžŸαŸ’αžŸ αžœαž·αžŸαŸ’αžœαž€αžš αž“αž·αž„αž’αŸ’αž“αž€αžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆαžŸαžΆαžŸαŸ’αžαŸ’αžšαŸ” αž‚αŸ’αžšαž”αžŠαžŽαŸ’αžαž”αŸ‹αž›αžΎαž”αŸ’αžšαž’αžΆαž“αž”αž‘αžŸαŸ†αžαžΆαž“αŸ‹αŸ—αžŠαžΌαž…αž‡αžΆ αž“αž·αžŸαŸ’αžŸαž“αŸ’αž‘αžœαžαŸ’αžαž»αžŠαŸ„αž™αž•αŸ’αž“αŸ‚αž€ αž’αžΆαŸ†αž„αžαŸαž€αŸ’αžšαžΆαž›αž…αŸ’αžšαžΎαž“ αž“αž·αž„αž€αžΆαžšαž‚αžŽαž“αžΆαžœαŸ‰αž·αž…αž‘αŸαžš αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž“αŸαŸ‡αž•αŸ’αžαž›αŸ‹αž“αžΌαžœαž€αžΆαžšαž–αž“αŸ’αž™αž›αŸ‹αž›αž˜αŸ’αž’αž·αž αž›αŸ†αž αžΆαžαŸ‹αž’αž“αŸ’αžαžšαž€αž˜αŸ’αž˜ αž“αž·αž„αž€αžΆαžšαž™αž›αŸ‹αžŠαžΉαž„αž‡αžΆαž€αŸ‹αžŸαŸ’αžαŸ‚αž„αžŠαžΎαž˜αŸ’αž”αžΈαž‡αž½αž™αž’αŸ’αž“αž€αž±αŸ’αž™αž–αžΌαž€αŸ‚αž€αŸ’αž“αž»αž„αž€αžΆαžšαž‚αžŽαž“αžΆαž€αž˜αŸ’αžšαž·αžαžαŸ’αž–αžŸαŸ‹αŸ”

αž›αž€αŸ’αžαžŽαŸˆαžŸαŸ†αžαžΆαž“αŸ‹αŸ—αŸ–
β€’ αž”αž‰αŸ’αž…αž”αŸ‹αž€αžΆαžšαž…αžΌαž›αž”αŸ’αžšαžΎαž€αŸ’αžšαŸ…αž”αžŽαŸ’αžαžΆαž‰αŸ– αžŸαž·αž€αŸ’αžŸαžΆαž”αžΆαž“αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž–αŸαž›αžŠαŸ„αž™αž˜αž·αž“αž…αžΆαŸ†αž”αžΆαž…αŸ‹αž—αŸ’αž‡αžΆαž”αŸ‹αž’αŸŠαžΈαž“αž’αžΊαžŽαž·αžαŸ”
β€’ αž€αžΆαžšαž‚αŸ’αžšαž”αžŠαžŽαŸ’αžŠαž”αŸ‹αž›αžΎαž”αŸ’αžšαž’αžΆαž“αž”αž‘αžŠαŸαž‘αžΌαž›αŸ†αž‘αžΌαž›αžΆαž™αŸ– αžŸαž·αž€αŸ’αžŸαžΆαž–αžΈαž‚αŸ„αž›αž‚αŸ†αž“αž·αžαžŸαŸ†αžαžΆαž“αŸ‹αŸ—αžŠαžΌαž…αž‡αžΆ αžœαŸ‰αž·αž…αž‘αŸαžšαž‡αž˜αŸ’αžšαžΆαž› αž€αžΆαžšαž”αž„αŸ’αžœαŸ‚αžš αž€αžΆαžšαž€αŸ„αž„ αž“αž·αž„αž€αžΆαžšαž”αŸ†αž”αŸ’αž›αŸ‚αž„αžŸαŸ†αžšαž”αžŸαŸ†αžšαž½αž›αŸ”
β€’ αž€αžΆαžšαž–αž“αŸ’αž™αž›αŸ‹αž‡αžΆαž‡αŸ†αž αžΆαž“αŸ—αŸ– αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž‚αŸ’αžšαž„αž”αŸ’αžšαž’αžΆαž“αž”αž‘αžŸαŸ’αž˜αž»αž‚αžŸαŸ’αž˜αžΆαž‰αžŠαžΌαž…αž‡αžΆ Jacobians αž˜αŸαž‚αž»αžŽ Lagrange αž“αž·αž„αž’αžΆαŸ†αž„αžαŸαž€αŸ’αžšαžΆαž›αž›αžΎαž•αŸ’αž‘αŸƒαž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αž€αžΆαžšαžŽαŸ‚αž“αžΆαŸ†αž…αŸ’αž”αžΆαžŸαŸ‹αž›αžΆαžŸαŸ‹αŸ”
β€’ αž›αŸ†αž αžΆαžαŸ‹αž’αž“αž»αžœαžαŸ’αžαž’αž“αŸ’αžαžšαž€αž˜αŸ’αž˜αŸ– αž–αž„αŸ’αžšαžΉαž„αž€αžΆαžšαžšαŸ€αž“αžŸαžΌαžαŸ’αžšαžšαž”αžŸαŸ‹αž’αŸ’αž“αž€αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„ MCQs αž€αž·αž…αŸ’αž…αž€αžΆαžšαžŠαŸ„αŸ‡αžŸαŸ’αžšαžΆαž™αž”αž‰αŸ’αž αžΆ αž“αž·αž„αž”αž‰αŸ’αž αžΆαž”αŸ’αžšαžˆαž˜αž•αŸ’αž’αŸ‚αž€αž›αžΎαž€αŸ’αžšαžΆαž αŸ’αžœαŸ”
β€’ αž€αŸ’αžšαžΆαž αŸ’αžœαžŠαŸ‚αž›αž˜αžΎαž›αžƒαžΎαž‰ αž“αž·αž„αž‚αŸ†αžšαžΌ 3DαŸ– αž™αž›αŸ‹αž’αŸ†αž–αžΈαžαŸ’αžŸαŸ‚αž€αŸ„αž„ αž•αŸ’αž‘αŸƒ αž“αž·αž„αžœαžΆαž›αžœαŸ‰αž·αž…αž‘αŸαžšαž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–αž›αž˜αŸ’αž’αž·αžαžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αž—αžΆαž–αž…αŸ’αž”αžΆαžŸαŸ‹αž›αžΆαžŸαŸ‹αžŠαŸ‚αž›αž”αŸ’αžšαžŸαžΎαžšαž‘αžΎαž„αŸ”
β€’ Beginner-Friendly Language: αž‘αŸ’αžšαžΉαžŸαŸ’αžαžΈαž‚αžŽαž·αžαžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆαžŸαŸ’αž˜αž»αž‚αŸ’αžšαžŸαŸ’αž˜αžΆαž‰αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž’αŸ’αžœαžΎαž±αŸ’αž™αžŸαžΆαž˜αž‰αŸ’αž‰αžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αž€αžΆαžšαž™αž›αŸ‹αžŠαžΉαž„αž…αŸ’αž”αžΆαžŸαŸ‹αž›αžΆαžŸαŸ‹αŸ”

αž αŸαžαž»αž’αŸ’αžœαžΈαžαŸ’αžšαžΌαžœαž‡αŸ’αžšαžΎαžŸαžšαžΎαžŸ Multivariable Calculus - αžšαŸ€αž“ αž“αž·αž„αž’αž“αž»αžœαžαŸ’αž?
β€’ αž‚αŸ’αžšαž”αžŠαžŽαŸ’αžαž”αŸ‹αž‘αžΆαŸ†αž„αž‚αŸ„αž›αž€αžΆαžšαžŽαŸαž‘αŸ’αžšαžΉαžŸαŸ’αžαžΈ αž“αž·αž„αž™αž»αž‘αŸ’αž’αžŸαžΆαžŸαŸ’αžαŸ’αžšαžŠαŸ„αŸ‡αžŸαŸ’αžšαžΆαž™αž”αž‰αŸ’αž αžΆαž‡αžΆαž€αŸ‹αžŸαŸ’αžαŸ‚αž„αŸ”
β€’ αž•αŸ’αžαž›αŸ‹αž“αžΌαžœαž€αžΆαžšαž™αž›αŸ‹αžŠαžΉαž„αž’αŸ†αž–αžΈαž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž€αŸ’αž“αž»αž„αž–αž·αž—αž–αž–αž·αž αžŠαžΌαž…αž‡αžΆαžšαžΌαž”αžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆ αžœαž·αžŸαŸ’αžœαž€αž˜αŸ’αž˜ αž“αž·αž„αž€αŸ’αžšαžΆαž αŸ’αžœαž·αž€αž€αž»αŸ†αž–αŸ’αž™αžΌαž‘αŸαžšαŸ”
β€’ αž‡αž½αž™αžŸαž·αžŸαŸ’αžŸαžαŸ’αžšαŸ€αž˜αž”αŸ’αžšαž›αž„αž‚αžŽαž·αžαžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆ αžœαž·αžŸαŸ’αžœαž€αž˜αŸ’αž˜ αž“αž·αž„αžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆαžŸαžΆαžŸαŸ’αžαŸ’αžšαŸ”
β€’ αž—αŸ’αž‡αžΆαž”αŸ‹αž’αŸ’αž“αž€αžŸαž·αž€αŸ’αžŸαžΆαž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αžαŸ’αž›αžΉαž˜αžŸαžΆαžšαž’αž“αŸ’αžαžšαž€αž˜αŸ’αž˜ αžŠαžΎαž˜αŸ’αž”αžΈαž”αž„αŸ’αž€αžΎαž“αž€αžΆαžšαžšαž€αŸ’αžŸαžΆαŸ”
β€’ αžšαž½αž˜αž”αž‰αŸ’αž…αžΌαž›αž§αž‘αžΆαž αžšαžŽαŸαž‡αžΆαž€αŸ‹αžŸαŸ’αžαŸ‚αž„αžŠαŸ‚αž›αž—αŸ’αž‡αžΆαž”αŸ‹αž‚αŸ†αž“αž·αžαž‚αžŽαž“αžΆαž‘αŸ…αž“αžΉαž„αž€αžΆαžšαžœαž·αž—αžΆαž‚αž…αž›αž“αžΆ αžŒαžΈαžŽαžΆαž˜αž·αž€αžšαžΆαžœ αž“αž·αž„αž’αŸαž‘αž·αž…αžαŸ’αžšαžΌαž˜αŸ‰αžΆαž‰αŸαž‘αž·αž…αŸ”

αž›αŸ’αž’αž₯αžαžαŸ’αž…αŸ„αŸ‡αžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αŸ–
β€’ αžŸαž·αžŸαŸ’αžŸαž‚αžŽαž·αžαžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆ αžšαžΌαž”αžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆ αž“αž·αž„αžœαž·αžŸαŸ’αžœαž€αž˜αŸ’αž˜αŸ”
β€’ αž”αŸαž€αŸ’αžαž‡αž“αžαŸ’αžšαŸ€αž˜αž”αŸ’αžšαž‘αž„ αž‚αžŽαž·αžαž€αž˜αŸ’αžšαž·αžαžαŸ’αž–αžŸαŸ‹ αž“αž·αž„αžœαž·αž‰αŸ’αž‰αžΆαž”αž“αž”αžαŸ’αžšαŸ”
β€’ αž’αŸ’αž“αž€αžŸαŸ’αžšαžΆαžœαž‡αŸ’αžšαžΆαžœαžŠαŸ‚αž›αž’αŸ’αžœαžΎαž€αžΆαžšαž‡αžΆαž˜αž½αž™αž”αŸ’αžšαž–αŸαž“αŸ’αž’αžαžΆαž˜αžœαž“αŸ’αž αžœαžΆαž›αžœαŸ‰αž·αž…αž‘αŸαžš αž“αž·αž„αž‚αŸ†αžšαžΌ 3D αŸ”
β€’ αž’αŸ’αž“αž€αž…αžΌαž›αž…αž·αžαŸ’αžαžŸαŸ’αžœαŸ‚αž„αžšαž€αž‚αŸ†αž“αž·αž αž“αž·αž„αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž‚αžŽαž·αžαžœαž·αž‘αŸ’αž™αžΆαž€αž˜αŸ’αžšαž·αžαžαŸ’αž–αžŸαŸ‹αŸ”

αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž‚αŸ’αžšαž„αž˜αžΌαž›αžŠαŸ’αž‹αžΆαž“αž‚αŸ’αžšαžΉαŸ‡αž“αŸƒαž€αžΆαžšαž‚αžŽαž“αžΆαž…αŸ’αžšαžΎαž“αž’αžαŸαžšαž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαžŠαŸαž˜αžΆαž“αž₯αž‘αŸ’αž’αž·αž–αž›αž“αŸαŸ‡αŸ” αž‘αž‘αž½αž›αž”αžΆαž“αž‡αŸ†αž“αžΆαž‰αž€αŸ’αž“αž»αž„αž€αžΆαžšαžœαž·αž—αžΆαž‚αž˜αž»αžαž„αžΆαžš 3D αžŠαŸ„αŸ‡αžŸαŸ’αžšαžΆαž™αž’αžΆαŸ†αž„αžαŸαž€αŸ’αžšαžΆαž›αžŸαŸ’αž˜αž»αž‚αŸ’αžšαžŸαŸ’αž˜αžΆαž‰ αž“αž·αž„αž’αž“αž»αžœαžαŸ’αžαž‚αŸ†αž“αž·αžαž‚αžŽαž“αžΆαž”αŸ’αžšαž€αž”αžŠαŸ„αž™αž‘αŸ†αž“αž»αž€αž…αž·αžαŸ’αž αž“αž·αž„αž”αŸ’αžšαžŸαž·αž‘αŸ’αž’αž—αžΆαž–!
αž”αžΆαž“β€‹αžŠαŸ†αž‘αžΎαž„αž€αŸ†αžŽαŸ‚β€‹αž“αŸ…
19 αž€αž»αž˜αŸ’αž—αŸˆ 2026

αžŸαž»αžœαžαŸ’αžαž·αž—αžΆαž–β€‹αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™

αžŸαž»αžœαžαŸ’αžαž·αž—αžΆαž–β€‹αž…αžΆαž”αŸ‹αž•αŸ’αžŠαžΎαž˜αž–αžΈβ€‹αž€αžΆαžšαž™αž›αŸ‹αžŠαžΉαž„αž’αŸ†αž–αžΈβ€‹αžšαž”αŸ€αž”αžŠαŸ‚αž›β€‹αž’αŸ’αž“αž€αž’αž—αž·αžœαžŒαŸ’αžαž“αŸβ€‹αž”αŸ’αžšαž˜αžΌαž› αž“αž·αž„β€‹αž…αŸ‚αž€αžšαŸ†αž›αŸ‚αž€β€‹αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αžšαž”αžŸαŸ‹αž’αŸ’αž“αž€αŸ” αž€αžΆαžšαž’αž“αž»αžœαžαŸ’αžβ€‹αž…αŸ†αž–αŸ„αŸ‡αžŸαž“αŸ’αžαž·αžŸαž»αž αž“αž·αž„β€‹αž―αž€αž‡αž“αž—αžΆαž–β€‹αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™β€‹αž’αžΆαž…αžαž»αžŸαž‚αŸ’αž“αžΆαž‘αŸ…αžαžΆαž˜β€‹αž€αžΆαžšαž”αŸ’αžšαžΎαž”αŸ’αžšαžΆαžŸαŸ‹ αžαŸ†αž”αž“αŸ‹ αž“αž·αž„β€‹αž’αžΆαž™αž»αžšαž”αžŸαŸ‹αž’αŸ’αž“αž€αŸ” αž’αŸ’αž“αž€αž’αž—αž·αžœαžŒαŸ’αžαž“αŸβ€‹αž”αžΆαž“αž•αŸ’αžŠαž›αŸ‹β€‹αž–αŸαžαŸŒαž˜αžΆαž“αž“αŸαŸ‡ αž“αž·αž„β€‹αž’αžΆαž…αž’αŸ’αžœαžΎαž”αž…αŸ’αž…αž»αž”αŸ’αž”αž“αŸ’αž“αž—αžΆαž–β€‹αžœαžΆαž“αŸ…αž–αŸαž›αžαžΆαž„αž˜αž»αžαŸ”
αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž“αŸαŸ‡β€‹αž’αžΆαž…αž…αŸ‚αž€αžšαŸ†αž›αŸ‚αž€β€‹αž”αŸ’αžšαž—αŸαž‘αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™β€‹αž‘αžΆαŸ†αž„αž“αŸαŸ‡β€‹αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž—αžΆαž‚αžΈαž‘αžΈαž”αžΈ
αž§αž”αž€αžšαžŽαŸ αž¬αž›αŸαžαžŸαž˜αŸ’αž‚αžΆαž›αŸ‹αž•αŸ’αžŸαŸαž„αž‘αŸ€αž
αž˜αž·αž“αž”αŸ’αžšαž˜αžΌαž›β€‹αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αž‘αžΎαž™
αžŸαŸ’αžœαŸ‚αž„αž™αž›αŸ‹β€‹αž”αž“αŸ’αžαŸ‚αž˜αž’αŸ†αž–αžΈβ€‹αžšαž”αŸ€αž”αžŠαŸ‚αž›β€‹αž’αŸ’αž“αž€αž’αž—αž·αžœαžŒαŸ’αžαž“αŸβ€‹αž”αŸ’αžšαž€αžΆαžŸαž’αŸ†αž–αžΈβ€‹αž€αžΆαžšαž”αŸ’αžšαž˜αžΌαž›αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™
αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž’αŸŠαžΈαž“αž‚αŸ’αžšαžΈαž”αžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αž€αžΆαžšαž•αŸ’αž‘αŸαžš
αž˜αž·αž“αž’αžΆαž…αž›αž»αž”αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αž”αžΆαž“αž‘αŸ
αž…αŸ†αžŽαžΆαžαŸ‹αžαŸ’αž“αžΆαž€αŸ‹αžαŸ’αž›αžΉαž˜αžŸαžΆαžš
αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž‚αŸ’αž“αžΆ
αž‘αž·αž‰αž“αŸ…β€‹αž€αŸ’αž“αž»αž„αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈ
αžŸαŸ’αžœαŸ‚αž„αž™αž›αŸ‹αž”αž“αŸ’αžαŸ‚αž˜

αž‡αŸ†αž“αž½αž™αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈ

αž’αŸ†αž–αžΈαž’αŸ’αž“αž€β€‹αž’αž—αž·αžœαžŒαŸ’αžαž“αŸ
Total Cyber Tech (Private) Limited
totalcybertech@gmail.com
Plaza # 5 New City Colony Kasur, 55050 Pakistan
+92 309 6000480

αž…αŸ’αžšαžΎαž“αž‘αŸ€αžαžŠαŸ„αž™ Total Cyber Tech Pvt Ltd