App Equations Geometry Figures

αž•αŸ’αž‘αž»αž€αž–αžΆαžŽαž·αž‡αŸ’αž‡αž€αž˜αŸ’αž˜
1+
αž€αžΆαžšαž‘αžΆαž‰αž™αž€
αž…αŸ†αžŽαžΆαžαŸ‹αžαŸ’αž“αžΆαž€αŸ‹αžαŸ’αž›αžΉαž˜αžŸαžΆαžš
αž‚αŸ’αžšαž”αŸ‹αž‚αŸ’αž“αžΆ
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–β€‹β€‹αžšαžΌαž”αžαžβ€‹αž’αŸαž€αŸ’αžšαž„αŸ‹
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αž’αŸ†αž–αžΈβ€‹αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž“αŸαŸ‡

αžŸαž˜αžΈαž€αžΆαžšαž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž“αŸƒαžαž½αž›αŸαžαž’αžšαžŽαžΈαž˜αžΆαžαŸ’αžšαž˜αž½αž™αž…αŸ†αž“αž½αž“
αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž˜αžΆαž“αž‚αŸ„αž›αž”αŸ†αžŽαž„αžŠαžΎαž˜αŸ’αž”αžΈαž”αž„αŸ’αž€αžΎαžαžαž½αž›αŸαžαž’αžšαžŽαžΈαž˜αžΆαžαŸ’αžšαž‡αžΆαž€αŸ‹αž›αžΆαž€αŸ‹αž“αŸ…αž›αžΎαž…αŸ†αžŽαž»αž…αž˜αžΌαž›αžŠαŸ’αž‹αžΆαž“αžŠαŸ‚αž›αž€αŸ†αžŽαžαŸ‹αžšαžΌαž”αžšαžΆαž„αŸ” αž€αž˜αŸ’αž˜αžœαž·αž’αžΈαž€αŸ†αžŽαžαŸ‹αžŸαž˜αžΈαž€αžΆαžšαž“αŸƒαžšαžΆαž„αžαžΆαž„αž€αŸ’αžšαŸ„αž˜αŸ– αž”αž“αŸ’αž‘αžΆαžαŸ‹ αžšαž„αŸ’αžœαž„αŸ‹αžšαžΆαž„αž–αž„αž€αŸ’αžšαž–αžΎ αž™αž“αŸ’αžαž αŸ„αŸ‡ αžŸαŸ’αžœαŸŠαŸ‚αžš αž“αž·αž„αžšαžΆαž„αž–αž„αž€αŸ’αžšαž–αžΎαŸ” αž”αž“αŸ’αž‘αžΆαžαŸ‹αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž€αŸ†αžŽαžαŸ‹αžŠαŸ„αž™αž…αŸ†αžŽαž»αž… 2 αžšαž„αŸ’αžœαž„αŸ‹ - αž–αžΈ 3 αž™αž“αŸ’αžαž αŸ„αŸ‡ - αž–αžΈ 3 αžšαž„αŸ’αžœαž„αŸ‹ - αž–αžΈ 4 αžšαžΆαž„αž–αž„αž€αŸ’αžšαž–αžΎ - αž–αžΈ 5 αž“αž·αž„ ellipsoid αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž”αž„αŸ’αž€αžΎαžαž‘αžΎαž„αž–αžΈ 9 αž–αž·αž“αŸ’αž‘αž»αŸ”
αž–αžΈαžŸαž€αž˜αŸ’αž˜αž—αžΆαž–αž…αžΆαž”αŸ‹αž•αŸ’αžαžΎαž˜αž‚αžΊαž‡αŸ’αžšαžΎαžŸαžšαžΎαžŸαžαž½αžšαž›αŸαžαž˜αž½αž™ αžŠαŸ‚αž›αž“αžΉαž„αžŠαŸ†αžŽαžΎαžšαž€αžΆαžšαžαžΆαž˜αžšαž™αŸˆαž€αžΆαžšαž…αž»αž…αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„αžŠαŸ‚αž›αžαŸ’αžšαžΌαžœαž‚αŸ’αž“αžΆ αž§αž‘αžΆαž αžšαžŽαŸαŸ– "αžšαž„αŸ’αžœαž„αŸ‹αž˜αž½αž™αž†αŸ’αž›αž„αž€αžΆαžαŸ‹αž…αŸ†αžŽαž»αž…αžŠαžΎαž˜αžˆαžΎ" - αž“αŸ…αž–αŸαž›αž‡αŸ’αžšαžΎαžŸαžšαžΎαžŸαžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αž’αŸ’αžœαžΎαž€αžΆαžšαž‡αžΆαž˜αž½αž™αžšαž„αŸ’αžœαž„αŸ‹αŸ” αž”αž„αŸ’αž αžΆαž‰αžŸαž€αž˜αŸ’αž˜αž—αžΆαž–αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž…αŸ†αžŽαž„αž‡αžΎαž„ - αž€αŸ’αž“αž»αž„αž€αžšαžŽαžΈαž“αŸαŸ‡ "αžšαž„αŸ’αžœαž„αŸ‹αžŸαž€αž˜αŸ’αž˜αž—αžΆαž–" αŸ” αž“αŸ…αž›αžΎαžŸαž€αž˜αŸ’αž˜αž—αžΆαž–αž“αžΈαž˜αž½αž™αŸ—αž˜αžΆαž“αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„αž”αžΈαŸ– "αžαŸ’αž˜αžΈ", "αž€αŸ‚αžŸαž˜αŸ’αžšαž½αž›", "αž›αž»αž”" αž“αž·αž„αž”αž‰αŸ’αž‡αžΈαžŠαŸ‚αž›αž”αžΆαž“αž”αž‰αŸ’αž…αžΌαž›αžšαž½αž…αž αžΎαž™αžŠαŸ‚αž›αžαŸ’αžšαžΌαžœαž‚αŸ’αž“αžΆαž“αžΉαž„αž”αŸ’αžšαž—αŸαž‘αžšαžΌαž”αžšαžΆαž„αŸ”

αž“αŸ…αž€αŸ’αž“αž»αž„αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αž€αŸ‚αžŸαž˜αŸ’αžšαž½αž›" αž“αž·αž„ "αž›αž»αž”" αž‡αžΆαž˜αž»αž“αž’αŸ’αž“αž€αžαŸ’αžšαžΌαžœαž‘αŸ…αž‹αžΆαž“αž“αžšαž€ αž‡αŸ’αžšαžΎαžŸαžšαžΎαžŸαž’αžΆαžαž»αž–αžΈαž”αž‰αŸ’αž‡αžΈαžŠαŸ‚αž›αž”αžΆαž“αžŽαŸ‚αž“αžΆαŸ†αžšαž½αž…αž αžΎαž™αžŠαŸ‚αž›αžαŸ’αžšαžΌαžœαž“αžΉαž„αž”αŸ’αžšαž—αŸαž‘αžšαžΌαž”αžšαžΆαž„αŸ”
αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αžαŸ’αž˜αžΈ" αž”αž˜αŸ’αžšαžΎαž“αŸ…αž–αŸαž›αž”αž‰αŸ’αž…αžΌαž›αžαž½αž›αŸαžαž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αžšαž”αžŸαŸ‹αžαŸ’αž˜αžΈαŸ” Sed αž…αž»αž…αž›αžΎαž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αžαŸ’αž˜αžΈ" αž›αŸαž…αž‘αžΎαž„αž€αžΆαžšαžŸαž“αŸ’αž‘αž“αžΆαž€αžΆαžšαžŽαŸ‚αž“αžΆαŸ† αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αž“αŸƒαžαž½αž›αŸαž: αžˆαŸ’αž˜αŸ„αŸ‡αž“αŸƒαžαž½αž›αŸαžαž“αž·αž„αž…αŸ†αžŽαž»αž…αžŠαŸ‚αž›αž“αžΉαž„αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž‚αžŽαž“αžΆαžŸαž˜αžΈαž€αžΆαžšαž“αŸƒαžαž½αž›αŸαžαŸ” αž…αŸ†αžŽαž»αž…αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αžŽαŸ‚αž“αžΆαŸ†αž“αŸ…αž€αŸ’αž“αž»αž„αžαžΆαžšαžΆαž„αžŠαŸ‚αž›αž˜αžΆαž“αž‡αž½αžšαžˆαžš 2(X, Y) ឬ 3(X, Y, Z) αŸ”
αž…αŸ†αžŽαž»αž…β€‹αž“αŸ…β€‹αž€αž“αŸ’αž›αŸ‚αž„β€‹αž•αŸ’αž‘αž»αž€β€‹αžαŸ’αžšαž½αžβ€‹αž–αž·αž“αž·αžαŸ’αž™β€‹αž‚αŸ’αž“αžΆβ€‹αž‘αŸ…β€‹αžœαž·αž‰β€‹αž‘αŸ…β€‹αž˜αž€ αž αžΎαž™β€‹αž‚αžΆαžαŸ‹β€‹αž˜αž·αž“β€‹αž’αžΆαž…β€‹αž€αžΎαžβ€‹αž˜αžΆαž“β€‹αž‘αžΎαž„β€‹αžœαž·αž‰β€‹αž‘αŸαŸ” αžŠαŸ„αž™αž…αž»αž…αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αžšαž€αŸ’αžŸαžΆαž‘αž»αž€" αžŸαž˜αžΈαž€αžΆαžšαžŠαŸ‚αž›αž”αžΆαž“αž‚αžŽαž“αžΆ αž“αž·αž„αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αž“αŸƒαžαž½αž›αŸαžαžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αžšαž€αŸ’αžŸαžΆαž‘αž»αž€αž€αŸ’αž“αž»αž„αž˜αžΌαž›αžŠαŸ’αž‹αžΆαž“αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™ SQLiteΒ αžŠαŸ‚αž›αž˜αžΆαž“αžˆαŸ’αž˜αŸ„αŸ‡ "αžŸαž˜αžΈαž€αžΆαžšCurvsAndSurfacs.db" αž αžΎαž™αž”αž‰αŸ’αž‡αžΈαž“αŸƒαž”αŸ’αžšαž—αŸαž‘αžŠαŸ‚αž›αž”αžΆαž“αžŽαŸ‚αž“αžΆαŸ†αžšαž½αž…αž αžΎαž™αžŠαŸ‚αž›αžαŸ’αžšαžΌαžœαž“αžΉαž„αž”αŸ’αžšαž—αŸαž‘αžšαžΌαž”αžšαžΆαž„αž€αŸ†αž–αž»αž„αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž”αž“αŸ’αžαŸ”
αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αž€αŸ‚αžŸαž˜αŸ’αžšαž½αž›" αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž”αž„αŸ’αž αžΆαž‰αž€αžΆαžšαžŸαž“αŸ’αž‘αž“αžΆαžŠαŸ‚αž›αž˜αžΆαž“αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αžŠαžΌαž…αž‚αŸ’αž“αžΆαžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αžαž½αž›αŸαžαž”αžΌαž€αž“αžΉαž„αžŸαž˜αžΈαž€αžΆαžšαžŠαŸ‚αž›αž”αžΆαž“αž‚αžŽαž“αžΆαŸ” αž αžΎαž™αž”αŸ’αžšαžŸαž·αž“αž”αžΎαžœαžΆαž•αŸ’αž›αžΆαžŸαŸ‹αž”αŸ’αžαžΌαžšαžˆαŸ’αž˜αŸ„αŸ‡αž“αŸƒαžαž½αž›αŸαž αž“αž·αž„αž…αŸ†αžŽαž»αž…αžŸαž˜αŸ’αžšαžΆαž”αŸ‹αž€αžΆαžšαžŽαŸ‚αž“αžΆαŸ†αžšαž”αžŸαŸ‹αž“αžΆαž„ αž αžΎαž™αž…αž»αž…αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αžšαž€αŸ’αžŸαžΆαž‘αž»αž€" αž“αŸ„αŸ‡αžšαžΌαž”αž—αžΆαž–αžαŸ’αž˜αžΈαžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αžšαž€αŸ’αžŸαžΆαž‘αž»αž€αžŠαžΌαž…αž‡αžΆαžŸαžΆαž˜αž‰αŸ’αž‰αžαŸ’αž˜αžΈ αžšαž½αž˜αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αž€αžΆαžšαž‚αžŽαž“αžΆ αž“αž·αž„αžŸαž˜αžΈαž€αžΆαžš αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αž“αŸƒαžαž½αž›αŸαžαž…αžΆαžŸαŸ‹αž“αŸ…αžαŸ‚αž˜αžΆαž“αŸ”
αž“αŸ…αž€αŸ’αž“αž»αž„αž€αžΆαžšαžŸαž“αŸ’αž‘αž“αžΆαž”αž“αŸ’αž‘αžΆαž”αŸ‹αž–αžΈαž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αž€αŸ‚αžŸαž˜αŸ’αžšαž½αž›" αž˜αžΆαž“αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„αž˜αž½αž™ "αž”αŸ„αŸ‡αž–αž»αž˜αŸ’αž–" αŸ” αžœαžΆαž’αž“αž»αž‰αŸ’αž‰αžΆαžαž±αŸ’αž™αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž”αŸ’αžšαžΎαžŠαžΎαž˜αŸ’αž”αžΈαž’αŸ’αžœαžΎαž‘αŸ’αžšαž„αŸ‹αž‘αŸ’αžšαžΆαž™αž€αŸ’αž“αž»αž„αž―αž€αžŸαžΆαžšαžŠαŸ‚αž›αž˜αžΆαž“αžˆαŸ’αž˜αŸ„αŸ‡ "AppEquationsOfSomeCurvsAndSurfases.txt" αž αžΎαž™αž…αž»αŸ‡αžˆαŸ’αž˜αŸ„αŸ‡αž…αžΌαž›αžαžαž§αž”αž€αžšαžŽαŸαŸ” αž”αž“αŸ’αž‘αžΆαž”αŸ‹αž–αžΈαž…αž»αž…αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αž”αŸ„αŸ‡αž–αž»αž˜αŸ’αž–" αž‚αžΊαž”αž„αŸ’αž αžΆαž‰αžŸαž€αž˜αŸ’αž˜αž—αžΆαž–αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αž”αž‰αŸ’αž‡αžΈαž“αŸƒαž”αž‰αŸ’αž‡αžΈαž§αž”αž€αžšαžŽαŸ αž‡αžΆαž˜αž½αž™αž“αžΉαž„αž€αžΆαžšαž‡αŸ’αžšαžΎαžŸαžšαžΎαžŸαž’αžΆαžαž»αžšαž”αžŸαŸ‹αžœαžΆ αž˜αžΆαžαž·αž€αžΆαž“αŸƒαžαžαžαŸ’αžšαžΌαžœαž”αžΆαž“αž”αž„αŸ’αž αžΆαž‰αž“αŸ…αž€αŸ’αž“αž»αž„αž”αž‰αŸ’αž‡αžΈαž”αŸ’αžšαž—αŸαž‘αžˆαžΎ αž”αŸ’αžšαžŸαž·αž“αž”αžΎαž‡αŸ’αžšαžΎαžŸαžšαžΎαžŸαž€αŸ’αž“αž»αž„αž˜αž½αž™αžαžαž–αžΈαž‚αžΆαžαŸ‹αž‚αžΊαž‡αžΆαž‚αžΌαž‘αž–αžŽαŸŒαž”αŸƒαžαž„αž‡αžΆαž˜αž½αž™αžˆαŸ’αž˜αŸ„αŸ‡ "αžšαž€αŸ’αžŸαžΆαž‘αž»αž€" αžŠαŸ„αž™αž…αž»αž…αž‚αžΆαžαŸ‹αž”αž„αŸ’αž αžΆαž‰αž€αžΆαžšαžŸαž“αŸ’αž‘αž“αžΆαž‡αžΆαž˜αž½αž™αž”αŸŠαžΌαžαž»αž„ "αž€αžΆαžšαžšαž€αŸ’αžŸαžΆαž‘αž»αž€αž˜αžΌαž›αžŠαŸ’αž‹αžΆαž“" αžŠαŸ‚αž›αž’αž“αž»αž‰αŸ’αž‰αžΆαžαž±αŸ’αž™αž―αž€αžŸαžΆαžš "AppEquationsOfSome" αž‘αŸ…αž‡αžΆαžƒαŸ’αž›αžΆαŸ†αž„αž•αŸ’αž‘αž»αž€αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™ αžαžαžŠαŸ‚αž›αž”αžΆαž“αž‡αŸ’αžšαžΎαžŸαžšαžΎαžŸαŸ”
αž”αžΆαž“β€‹αžŠαŸ†αž‘αžΎαž„αž€αŸ†αžŽαŸ‚β€‹αž“αŸ…
14 αžαž»αž›αžΆ 2025

αžŸαž»αžœαžαŸ’αžαž·αž—αžΆαž–β€‹αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™

αžŸαž»αžœαžαŸ’αžαž·αž—αžΆαž–β€‹αž…αžΆαž”αŸ‹αž•αŸ’αžŠαžΎαž˜αž–αžΈβ€‹αž€αžΆαžšαž™αž›αŸ‹αžŠαžΉαž„αž’αŸ†αž–αžΈβ€‹αžšαž”αŸ€αž”αžŠαŸ‚αž›β€‹αž’αŸ’αž“αž€αž’αž—αž·αžœαžŒαŸ’αžαž“αŸβ€‹αž”αŸ’αžšαž˜αžΌαž› αž“αž·αž„β€‹αž…αŸ‚αž€αžšαŸ†αž›αŸ‚αž€β€‹αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™αžšαž”αžŸαŸ‹αž’αŸ’αž“αž€αŸ” αž€αžΆαžšαž’αž“αž»αžœαžαŸ’αžβ€‹αž…αŸ†αž–αŸ„αŸ‡αžŸαž“αŸ’αžαž·αžŸαž»αž αž“αž·αž„β€‹αž―αž€αž‡αž“αž—αžΆαž–β€‹αž‘αž·αž“αŸ’αž“αž“αŸαž™β€‹αž’αžΆαž…αžαž»αžŸαž‚αŸ’αž“αžΆαž‘αŸ…αžαžΆαž˜β€‹αž€αžΆαžšαž”αŸ’αžšαžΎαž”αŸ’αžšαžΆαžŸαŸ‹ αžαŸ†αž”αž“αŸ‹ αž“αž·αž„β€‹αž’αžΆαž™αž»αžšαž”αžŸαŸ‹αž’αŸ’αž“αž€αŸ” αž’αŸ’αž“αž€αž’αž—αž·αžœαžŒαŸ’αžαž“αŸβ€‹αž”αžΆαž“αž•αŸ’αžŠαž›αŸ‹β€‹αž–αŸαžαŸŒαž˜αžΆαž“αž“αŸαŸ‡ αž“αž·αž„β€‹αž’αžΆαž…αž’αŸ’αžœαžΎαž”αž…αŸ’αž…αž»αž”αŸ’αž”αž“αŸ’αž“αž—αžΆαž–β€‹αžœαžΆαž“αŸ…αž–αŸαž›αžαžΆαž„αž˜αž»αžαŸ”
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Ivan Zdravkov Gabrovski
ivan_gabrovsky@yahoo.com
ΠΆΠΊ.ΠœΠ»Π°Π΄ΠΎΡΡ‚ 1 47 Π²Ρ… 1 Π΅Ρ‚. 16 Π°ΠΏ. 122 1784 ΠΎΠ±Ρ‰. Π‘Ρ‚ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π½Π° Π³Ρ€ Бофия Bulgaria
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