Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Inneholder annonser

Om denne appen

App Partielle differensialligninger
En partielle differensialligning er en ligning som involverer partielle deriverte av en ukjent funksjon av flere variabler (vanligvis rom og/eller tid).
Generell form: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
For en funksjon u(x, y) eller u(x, t):
Klassifisering etter orden
Første orden -” inneholder bare første partielle deriverte
Andre orden - vanligst i fysikk (varme, bølger, potensial)
De tre klassiske typene (lineær, andre orden)
1. Parabolsk varme/diffusjonsligning:
2. Hyperbolsk bølgeligning:
3. Elliptisk Laplace-ligning:
Skillepunktet kommer fra diskriminanten på den generelle formen Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + og så videre = 0: parabolsk når B i annen minus 4AC = 0, hyperbolsk når >0, elliptisk når <0” analogt med kjeglesnitt.
Varmeledningsligningen (også kalt diffusjonsligningen) beskriver hvordan temperaturen sprer seg gjennom et medium over tid.

Bølgeligningen beskriver forplantning av forstyrrelser (vibrasjoner, lyd, lys, vannbølger) gjennom et medium med en endelig hastighet.

Elliptiske ligninger beskriver likevektskonfigurasjoner i stabil tilstand (tidsuavhengig) – ikke evolusjon over tid. Det klassiske eksemplet er Laplaces/Poissons ligning.

Hovedløsningsmetoder
Separasjon av variabler antar u(x,t) = X(x)T(t)

Karakteristikkmetode eller førsteordens ligninger

Integraltransformasjoner Fourier, Laplace

Greens funksjoner

Numeriske metoder – endelige differanser, endelige elementer (for tilfeller uten lukkede løsninger)

Applikasjonen bruker numeriske metoder for varme-, bølge- og elliptiske ligninger og endrer parametere i dialogboksen. Resultatene vises grafisk og i parametere.