Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Zawiera reklamy

Informacje o aplikacji

Równania różniczkowe cząstkowe
Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie obejmujące pochodne cząstkowe nieznanej funkcji kilku zmiennych (zwykle przestrzeni i/lub czasu).
Postać ogólna: F(x, y, u, u_dx, u_dy, ...)=0
Dla funkcji u(x, y) lub u(x, t):
Klasyfikacja według rzędu
Pierwszego rzędu -” zawiera tylko pierwsze pochodne cząstkowe
Drugiego rzędu - najczęściej spotykane w fizyce (ciepło, fale, potencjał)
Trzy typy klasyczne (liniowe, drugiego rzędu)
1. Paraboliczne równanie ciepła/dyfuzji:
2. Hiperboliczne równanie falowe:
3. Eliptyczne równanie Laplace'a:
Rozróżnienie wynika z wyróżnika w postaci ogólnej Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + itd. = 0: paraboliczne, gdy B kwadrat minus 4AC = 0, hiperboliczne, gdy >0, eliptyczne, gdy <0 – analogicznie do krzywych stożkowych.
Równanie przewodzenia ciepła (zwane również równaniem dyfuzji) opisuje, jak temperatura rozprzestrzenia się w ośrodku w czasie.
Równanie falowe opisuje propagację zaburzeń (wibracji, dźwięku, światła, fal wodnych) w ośrodku ze skończoną prędkością.
Równania eliptyczne opisują ustalone (niezależne od czasu) konfiguracje równowagowe — a nie ewolucję w czasie. Klasycznym przykładem jest równanie Laplace'a/Poissona.
Główne metody rozwiązań
Rozdzielenie zmiennych zakłada u(x,t) = X(x)T(t)
Metoda charakterystyk lub równania pierwszego rzędu
Przekształcenia całkowe: Fouriera, Laplace'a
Funkcje Greena
Metody numeryczne — różnice skończone, elementy skończone (dla przypadków bez rozwiązań w postaci zamkniętej)
Aplikacja stosuje metody numeryczne dla równań cieplnych, falowych i eliptycznych oraz zmienia parametry w oknie dialogowym. Wyniki są prezentowane graficznie i w postaci parametrów.