Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Есть реклама

Описание

Уравнения в частных производных
Уравнение в частных производных — это уравнение, включающее частные производные неизвестной функции нескольких переменных (обычно пространства и/или времени).
Общая форма: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
Для функции u(x, y) или u(x, t):
Классификация по порядку
Первый порядок — содержит только первые частные производные
Второй порядок — наиболее распространен в физике (тепло, волны, потенциал)
Три классических типа (линейный, второго порядка)
1. Параболическое уравнение теплопроводности/диффузии:
2. Гиперболическое волновое уравнение:
3. Эллиптическое уравнение Лапласа:
Различие заключается в дискриминанте в общей форме Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + и так далее = 0: параболическое, когда B² - 4AC = 0, гиперболическое, когда >0, эллиптическое, когда <0 — по аналогии с коническими сечениями.

Уравнение теплопроводности (также называемое уравнением диффузии) описывает распространение температуры в среде во времени.
Волновое уравнение описывает распространение возмущений (вибраций, звука, света, волн) в среде с конечной скоростью.
Эллиптические уравнения описывают стационарные (не зависящие от времени) равновесные конфигурации, а не эволюцию во времени. Классическим примером является уравнение Лапласа/Пуассона.
Основные методы решения
Метод разделения переменных предполагает u(x,t) = X(x)T(t)
Метод характеристик или уравнения первого порядка
Интегральные преобразования Фурье, Лапласа
Функции Грина
Численные методы - конечные разности, конечные элементы (для случаев без аналитических решений)
Приложение применяет численные методы для уравнений теплопроводности, волновых уравнений и эллиптических уравнений и изменяет параметры в диалоговом режиме. Результаты отображаются графически и в параметрах.