Partial Differential Equations

ivan gabrovski

விளம்பரங்கள் உள்ளன

இந்த ஆப்ஸ் பற்றி

பகுதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்
ஒரு பகுதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடு (PDE) என்பது பல மாறிகளின் (பொதுவாக வெளி மற்றும்/அல்லது நேரம்) அறியப்படாத சார்பின் பகுதி வகைக்கெழுக்களை உள்ளடக்கிய ஒரு சமன்பாடாகும்.

பொது வடிவம்: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
ஒரு சார்பு u(x, y) அல்லது u(x, t)-க்கு:
வரிசை வாரியான வகைப்பாடு
முதல் வரிசை - முதல் பகுதி வகைக்கெழுக்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது
இரண்டாம் வரிசை - இயற்பியலில் மிகவும் பொதுவானது (வெப்பம், அலைகள், மின்னழுத்தம்)
மூன்று செவ்வியல் வகைகள் (நேரியல், இரண்டாம் வரிசை)
1. பரவளைய வெப்ப/பரவல் சமன்பாடு:
2. அதிபரவளைய அலை சமன்பாடு:
3. நீள்வட்ட லாப்லாஸ் சமன்பாடு:
இந்த வேறுபாடு, Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + மற்றும் பல = 0 என்ற பொது வடிவத்தில் உள்ள பாகுபடுத்தியிலிருந்து வருகிறது: B வர்க்கம் கழித்தல் 4AC = 0 எனில் பரவளையமாகவும், >0 எனில் அதிபரவளையமாகவும், <0 எனில் நீள்வட்டமாகவும் இருக்கும் - இது கூம்பு வெட்டுக்களுடன் ஒப்புமைப்படுத்தி கூறப்படுகிறது.

வெப்பக் கடத்தல் சமன்பாடு (பரவல் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு ஊடகத்தில் வெப்பநிலை காலப்போக்கில் எவ்வாறு பரவுகிறது என்பதை விவரிக்கிறது.

அலைச் சமன்பாடு, ஒரு ஊடகத்தில் இடையூறுகள் (அதிர்வுகள், ஒலி, ஒளி, நீர் அலைகள்) ஒரு குறிப்பிட்ட வேகத்தில் பரவுவதை விவரிக்கிறது.

நீள்வட்டச் சமன்பாடுகள், காலப்போக்கில் ஏற்படும் பரிணாம வளர்ச்சியை அல்லாமல், நிலையான (காலத்தைச் சாராத) சமநிலை அமைப்புகளை விவரிக்கின்றன. இதற்கு உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு லாப்லாஸ்/பாய்சன் சமன்பாடு ஆகும்.

முக்கிய தீர்வு முறைகள்
மாறிகளைப் பிரித்தல் u(x,t) = X(x)T(t) எனக் கருதுகிறது
சிறப்பியல்பு முறை அல்லது முதல்-வரிசைச் சமன்பாடுகள்
தொகையீட்டு உருமாற்றங்கள் - ஃபோரியர், லாப்லாஸ்
கிரீன் சார்புகள்
எண்முறை முறைகள் - வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடுகள், வரையறுக்கப்பட்ட கூறுகள் (மூடிய-வடிவத் தீர்வுகள் இல்லாத நேர்வுகளுக்கு)
இந்தச் செயலி, வெப்பம், அலை மற்றும் நீள்வட்டச் சமன்பாடுகளுக்கு எண்முறை முறைகளைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் உரையாடல் பெட்டியில் அளவுருக்களை மாற்றுகிறது. முடிவுகள் வரைபடமாகவும் அளவுருக்களிலும் காட்டப்படுகின்றன.