Partial Differential Equations

ivan gabrovski

యాడ్స్ ఉంటాయి

ఈ యాప్ గురించి పరిచయం

పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు

ఒక PDE (పాక్షిక అవకలన సమీకరణం) అనేది అనేక చరరాశుల (సాధారణంగా స్థలం మరియు/లేదా కాలం) యొక్క తెలియని ప్రమేయం యొక్క పాక్షిక అవకలజాలను కలిగి ఉన్న ఒక సమీకరణం.

సాధారణ రూపం: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
u(x, y) లేదా u(x, t) అనే ప్రమేయం కోసం:

క్రమం ప్రకారం వర్గీకరణ
మొదటి క్రమం - కేవలం మొదటి పాక్షిక అవకలజాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది
రెండవ క్రమం - భౌతిక శాస్త్రంలో అత్యంత సాధారణం (ఉష్ణం, తరంగాలు, పొటెన్షియల్)

మూడు సాంప్రదాయ రకాలు (రేఖీయ, రెండవ క్రమం)
1. పరావలయ ఉష్ణ/వ్యాపన సమీకరణం:

2. అతిపరావలయ తరంగ సమీకరణం:

3. దీర్ఘవృత్తాకార లాప్లేస్ సమీకరణం:

ఈ వ్యత్యాసం Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + మొదలైనవి = 0 అనే సాధారణ రూపంలోని విచక్షణ నుండి వస్తుంది: B వర్గం మైనస్ 4AC = 0 అయినప్పుడు పరావలయం, >0 అయినప్పుడు అతిపరావలయం, <0 అయినప్పుడు దీర్ఘవృత్తాకారం - శంకుచ్ఛేదాలతో పోలిక ద్వారా.

ఉష్ణ వాహక సమీకరణం (దీనిని వ్యాపన సమీకరణం అని కూడా అంటారు) ఒక మాధ్యమంలో ఉష్ణోగ్రత కాలక్రమేణా ఎలా వ్యాపిస్తుందో వివరిస్తుంది.

తరంగ సమీకరణం ఒక మాధ్యమంలో పరిమిత వేగంతో అలజడుల (కంపనాలు, ధ్వని, కాంతి, నీటి తరంగాలు) వ్యాప్తిని వివరిస్తుంది.

దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణాలు స్థిర-స్థితి (కాలంపై ఆధారపడని) సమతాస్థితి ఆకృతులను వివరిస్తాయి — కాలక్రమేణా జరిగే పరిణామాన్ని కాదు. దీనికి ఉత్తమ ఉదాహరణ లాప్లేస్/పాయిసన్ సమీకరణం.

ప్రధాన పరిష్కార పద్ధతులు
చరరాశుల విభజన u(x,t) = X(x)T(t) అని భావిస్తుంది
లక్షణాల పద్ధతి లేదా మొదటి-క్రమ సమీకరణాలు
సమాకలన పరివర్తనాలు ఫోరియర్, లాప్లేస్
గ్రీన్ ఫంక్షన్లు
సంఖ్యా పద్ధతులు - పరిమిత భేదాలు, పరిమిత మూలకాలు (క్లోజ్డ్-ఫార్మ్ పరిష్కారాలు లేని సందర్భాల కోసం)

ఈ అప్లికేషన్ ఉష్ణ, తరంగ మరియు దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణాల కోసం సంఖ్యా పద్ధతులను వర్తింపజేస్తుంది మరియు డైలాగ్‌లో పారామితులను మారుస్తుంది. ఫలితాలు గ్రాఫికల్‌గా మరియు పారామితులలో చూపబడతాయి.