Partial Differential Equations

ivan gabrovski

Містить рекламу

Про цей додаток

Диференціальні рівняння з частинними похідними (ДРП) – це рівняння, що містить частинні похідні від невідомої функції кількох змінних (зазвичай простору та/або часу).
Загальна форма: F(x,y,u,u_dx, u_dy, ...)=0
Для функції u(x, y) або u(x, t):
Класифікація за порядком
Перший порядок -” містить лише перші частинні похідні
Другий порядок – найпоширеніший у фізиці (тепло, хвилі, потенціал)
Три класичні типи (лінійний, другого порядку)
1. Параболічне рівняння теплоти/дифузії:
2. Гіперболічне хвильове рівняння:
3. Еліптичне рівняння Лапласа:
Різниця походить від дискримінанта в загальній формі Au_ xx + Bu_xy + Cu_ yy + тощо = 0: параболічний, коли B у квадраті мінус 4AC = 0, гіперболічний, коли >0, еліптичний, коли <0” за аналогією з конічними перерізами.
Рівняння теплопровідності (також зване рівнянням дифузії) описує, як температура поширюється через середовище з часом.
Хвильове рівняння описує поширення збурень (коливань, звуку, світла, водних хвиль) через середовище зі скінченною швидкістю.
Еліптичні рівняння описують стаціонарні (незалежні від часу) рівноважні конфігурації, а не еволюцію з часом. Класичним прикладом є рівняння Лапласа/Пуассона.
Основні методи розв'язання
Розділення змінних припускає u(x,t) = X(x)T(t)
Метод характеристик або рівняння першого порядку
Інтегральні перетворення Фур'є, Лапласа
Функції Гріна
Чисельні методи - скінченні різниці, скінченні елементи (для випадків без розв'язків у замкнутій формі)
Додаток застосовує числові методи для теплопровідних, хвильових та еліптичних рівнянь та змінює параметри в діалоговому вікні. Результати відображаються графічно та в параметрах.