Study of Functions

ā§Ļ+
āĻĄāĻžāωāύāϞ⧋āĻĄ
āϏāĻžāĻŽāĻ—ā§āϰ⧀āϰ āϰ⧇āϟāĻŋāĻ‚
āĻĒā§āϰāĻ¤ā§āϝ⧇āϕ⧇
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ
āĻ¸ā§āĻ•ā§āϰāĻŋāύāĻļāĻŸā§‡āϰ āĻ›āĻŦāĻŋ

āĻāχ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒ āϏāĻŽā§āĻĒāĻ°ā§āϕ⧇

āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ āĻŦāĻžāĻ¸ā§āϤāĻŦ āĻĒāϰāĻŋāĻŦāĻ°ā§āϤāύāĻļā§€āϞ y = f (x) āĻāϰ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻŦāĻžāĻ¸ā§āϤāĻŦ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ⧇āϰ āϏāĻŽā§āĻĒā§‚āĻ°ā§āĻŖ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ āĻ•āϰ⧇āĨ¤
āϏāĻŽāĻ¸ā§āϤ āĻŽā§ŒāϞāĻŋāĻ• āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āϏāĻŽāĻ°ā§āĻĨāĻŋāϤ (sin, cos, sinh, āχāĻ¤ā§āϝāĻžāĻĻāĻŋ)
āύāϤ⧁āύ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āϏāĻ¨ā§āύāĻŋāĻŦ⧇āĻļ āĻ•āϰāϤ⧇ (āωāĻĒāϞāĻŦā§āϧ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύāϗ⧁āϞāĻŋ āϏāĻšāĻžāϝāĻŧāϤāĻž āĻŦāĻŋāĻ­āĻžāϗ⧇ āφāϛ⧇?), āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āĻŽā§‡āύ⧁ āĻĨ⧇āϕ⧇ āχāύāϏāĻžāĻ°ā§āϟ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āύāĻŋāĻ°ā§āĻŦāĻžāϚāύ āĻ•āϰ⧁āύ, āĻ—ā§āϰāĻžāĻĢ⧇āϰ āωāĻĒāϰ⧇āϰ āĻŦāĻžāĻ•ā§āϏ⧇ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύāϟāĻŋ āϏāĻ¨ā§āύāĻŋāĻŦ⧇āĻļ āĻ•āϰ⧁āύ, āφāĻĒāύāĻŋ "āϰāĻŋāϟāĻžāĻ°ā§āύ" āĻ āĻ•ā§āϞāĻŋāĻ• āĻ•āϰāϞ⧇ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύāϟāĻŋ āϝāĻžāϚāĻžāχ āĻ•āϰāĻž āĻšāĻŦ⧇āĨ¤ āφāĻĒāύāĻŋ āϝāĻĻāĻŋ āĻĄāĻžāύāĻĻāĻŋāϕ⧇āϰ āĻŦā§āĻ˛ā§āϝāĻžāĻ•āĻŦā§‹āĻ°ā§āĻĄā§‡ āĻāϰ āĻĄā§‡āϰāĻŋāϭ⧇āϟāĻŋāĻ­ āϏāĻš āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύāϟāĻŋ āĻĻ⧇āĻ–āϤ⧇ āĻĒāĻžāύ, āφāĻĒāύāĻŋ āϏāĻ āĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻŦ⧇ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύāϟāĻŋ āĻĒā§āϰāĻŦ⧇āĻļ āĻ•āϰ⧇āϛ⧇āύ, āĻ…āĻ¨ā§āϝāĻĨāĻžāϝāĻŧ āφāĻĒāύāĻŋ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻ¤ā§āϰ⧁āϟāĻŋ āĻŦāĻžāĻ°ā§āϤāĻž āĻĻ⧇āĻ–āϤ⧇ āĻĒāĻžāĻŦ⧇āύāĨ¤
āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύāϟāĻŋ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āĻŽā§‡āύ⧁ (āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āϚāϝāĻŧāύ āĻ•āϰ⧁āύ) āĻĨ⧇āϕ⧇ āχāĻšā§āĻ›āĻžāĻŽāϤ āϰāĻŋāĻ•āϞ āĻ•āϰāĻžāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻĄāĻžāϟāĻžāĻŦ⧇āϏ⧇ āϏāĻ‚āϰāĻ•ā§āώāĻŖ āĻ•āϰāĻž āϝ⧇āϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āĨ¤
āĻŦāĻŋāĻļā§āϞ⧇āώāĻŖ āĻŽā§‡āύ⧁ āĻĨ⧇āϕ⧇ āφāĻĒāύāĻŋ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ⧇āϰ āĻŦāĻŋāĻ­āĻŋāĻ¨ā§āύ āϧāĻžāĻĒ āĻāϕ⧇ āĻāϕ⧇ āĻ•āϰāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āύāĨ¤
1) āĻ…āĻ¸ā§āϤāĻŋāĻ¤ā§āĻŦ⧇āϰ āĻ•ā§āώ⧇āĻ¤ā§āϰ
2) āĻ…āĻ•ā§āώ⧇āϰ āϏāĻžāĻĨ⧇ āϛ⧇āĻĻ
3) āωāĻ˛ā§āϞāĻŽā§āĻŦ āωāĻĒāϏāĻ°ā§āĻ— āĻāĻŦāĻ‚ āĻŦāĻŋāϰāϤāĻŋ
4) āĻ…āύ⧁āĻ­ā§‚āĻŽāĻŋāĻ• āĻāĻŦāĻ‚ āϤāĻŋāĻ°ā§āϝāĻ• āωāĻĒāϏāĻ°ā§āĻ—
5) āĻĒā§āϰāĻĨāĻŽ āĻĄā§‡āϰāĻŋāϭ⧇āϟāĻŋāĻ­ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ
6) āĻĻā§āĻŦāĻŋāϤ⧀āϝāĻŧ āĻĄā§‡āϰāĻŋāϭ⧇āϟāĻŋāĻ­ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ

āφāĻĒāύāĻŋ āϝāĻĻāĻŋ āĻĢāĻžāĻ‚āĻļāύ āĻŽā§‡āύ⧁ āĻĨ⧇āϕ⧇ āĻĒāĻ›āĻ¨ā§āĻĻ āĻ•āϰ⧇āύ āϤāĻŦ⧇ āφāĻĒāύāĻŋ āϏāĻŽā§āĻĒā§‚āĻ°ā§āĻŖ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ āύāĻŋāĻ°ā§āĻŦāĻžāϚāύ āĻ•āϰāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āύ āĻāĻŦāĻ‚ āφāĻĒāύāĻŋ āωāĻĒāϰ⧇ āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŋāϤ āĻŦāĻŋāĻ­āĻžāĻ—āϗ⧁āϞāĻŋāϰ āϏāĻžāĻĨ⧇ āϏāĻŽā§āĻĒāĻ°ā§āĻ•āĻŋāϤ āϏāĻŽāĻ¸ā§āϤ āĻĢāϞāĻžāĻĢāϞ āĻĄāĻžāύ āĻšāĻžāϤ⧇āϰ āĻŦā§āĻ˛ā§āϝāĻžāĻ•āĻŦā§‹āĻ°ā§āĻĄā§‡ āĻĒāĻžāĻŦ⧇āύāĨ¤
āϚāĻžāĻ°ā§āĻŸā§‡āϰ āĻŦāĻŋāĻ­āĻŋāĻ¨ā§āύ āωāĻĒāĻžāĻĻāĻžāύ⧇āϰ āϰāĻ‚ āĻāĻŦāĻ‚ āĻĄāĻžāύāĻĻāĻŋāϕ⧇āϰ āĻ…āĻ•ā§āώāϰ⧇āϰ āφāĻ•āĻžāϰ āϏ⧇āϟāĻŋāĻ‚āϏ⧇ āĻ•ā§āϞāĻŋāĻ• āĻ•āϰ⧇ āĻ•āĻžāĻ¸ā§āϟāĻŽāĻžāχāϜ āĻ•āϰāĻž āϝ⧇āϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āĨ¤ āφāĻĒāύāĻŋ āϝāĻĻāĻŋ āĻāĻŽāύ āϰāĻ™ āϚāϝāĻŧāύ āĻ•āϰ⧇āύ āϝāĻž āφāĻĒāύāĻžāϕ⧇ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻ•ā§āϞāĻŋāϕ⧇ āϏāĻ¨ā§āϤ⧁āĻˇā§āϟ āύāĻž āĻ•āϰ⧇ āϤāĻŦ⧇ āφāĻĒāύāĻŋ āĻĄāĻŋāĻĢāĻ˛ā§āϟāϰ⧂āĻĒ⧇ āϰāĻ™ āĻāĻŦāĻ‚ āĻĢāĻ¨ā§āĻŸā§‡āϰ āφāĻ•āĻžāϰ āĻĒ⧁āύāϰ⧁āĻĻā§āϧāĻžāϰ āĻ•āϰāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āύāĨ¤
āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒāϟāĻŋ āĻļ⧁āϧ⧁āĻŽāĻžāĻ¤ā§āϰ āφāĻĒāύāĻžāϰ āĻĄāĻŋāĻ­āĻžāχāϏ⧇āϰ āĻŦ⧃āĻšāĻ¤ā§āϤāϰ āĻĻāĻŋāϕ⧇ āĻŦ⧇āϏ (āĻ˛ā§āϝāĻžāĻ¨ā§āĻĄāĻ¸ā§āϕ⧇āĻĒ) āĻšāĻŋāϏāĻžāĻŦ⧇ āĻ•āĻžāϜ āĻ•āϰāĻžāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻĄāĻŋāϜāĻžāχāύ āĻ•āϰāĻž āĻšāϝāĻŧ⧇āϛ⧇āĨ¤
āĻ­āĻžāϞ āĻ…āĻ§ā§āϝāϝāĻŧāύ.
āφāĻĒāĻĄā§‡āϟ āĻ•āϰāĻž āĻšā§Ÿā§‡āϛ⧇
ā§§ā§Ģ āĻŽāĻžāĻ°ā§āϚ, ⧍ā§Ļā§¨ā§Š

āĻĄā§‡āϟāĻž āϏ⧁āϰāĻ•ā§āώāĻž

āĻĄā§‡āϭ⧇āϞāĻĒāĻžāϰ āϕ⧀āĻ­āĻžāĻŦ⧇ āφāĻĒāύāĻžāϰ āĻĄā§‡āϟāĻž āϏāĻ‚āĻ—ā§āϰāĻš āĻāĻŦāĻ‚ āĻļā§‡ā§ŸāĻžāϰ āĻ•āϰ⧇ āϤāĻž āĻĨ⧇āϕ⧇āχ āύāĻŋāϰāĻžāĻĒāĻ¤ā§āϤāĻž āĻŦā§āϝāĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻž āĻ•āĻžāϜ āĻ•āϰāĻž āĻļ⧁āϰ⧁ āĻ•āϰ⧇āĨ¤ āĻ…ā§āϝāĻžāĻĒ⧇āϰ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰ, āϕ⧋āύ āĻ…āĻžā§āϚāϞ⧇ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰ āĻ•āϰāĻž āĻšāĻšā§āϛ⧇ āĻāĻŦāĻ‚ āĻŦā§āϝāĻŦāĻšāĻžāϰāĻ•āĻžāϰ⧀āϰ āĻŦ⧟āϏ⧇āϰ āĻ­āĻŋāĻ¤ā§āϤāĻŋāϤ⧇ āĻĄā§‡āϟāĻž āĻ—ā§‹āĻĒāĻ¨ā§€ā§ŸāϤāĻž āĻāĻŦāĻ‚ āϏ⧁āϰāĻ•ā§āώāĻž āĻŦā§āϝāĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻž āφāϞāĻžāĻĻāĻž āĻšāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āĨ¤ āĻĄā§‡āϭ⧇āϞāĻĒāĻžāϰ āĻāχ āϤāĻĨā§āϝ āĻĒā§āϰāĻĻāĻžāύ āĻ•āϰ⧇āϛ⧇āύ āĻāĻŦāĻ‚ āϏāĻŽā§Ÿā§‡āϰ āϏāĻžāĻĨ⧇ āϏāĻžāĻĨ⧇ āϤāĻž āφāĻĒāĻĄā§‡āϟ āĻ•āϰāϤ⧇ āĻĒāĻžāϰ⧇āĨ¤
āϕ⧋āύāĻ“ āĻĄā§‡āϟāĻž āĻĨāĻžāĻ°ā§āĻĄ-āĻĒāĻžāĻ°ā§āϟāĻŋāϰ āϏāĻžāĻĨ⧇ āĻļā§‡ā§ŸāĻžāϰ āĻ•āϰāĻž āĻšā§ŸāύāĻŋ
āĻĄā§‡āϭ⧇āϞāĻĒāĻžāϰ āϕ⧀āĻ­āĻžāĻŦ⧇ āĻļā§‡ā§ŸāĻžāϰ āĻ•āϰāĻžāϰ āĻ•āĻĨāĻž āĻ˜ā§‹āώāĻŖāĻž āĻ•āϰ⧇āύ āϏ⧇āχ āϏāĻŽā§āĻĒāĻ°ā§āϕ⧇ āφāϰāĻ“ āϜāĻžāύ⧁āύ
āϕ⧋āύāĻ“ āĻĄā§‡āϟāĻž āϏāĻ‚āĻ—ā§āϰāĻš āĻ•āϰāĻž āĻšā§ŸāύāĻŋ
āĻĄā§‡āϭ⧇āϞāĻĒāĻžāϰāϰāĻž āϕ⧀āĻ­āĻžāĻŦ⧇ āϏāĻ‚āĻ—ā§āϰāĻš āĻ•āϰāĻžāϰ āĻ•āĻĨāĻž āĻ˜ā§‹āώāĻŖāĻž āĻ•āϰ⧇āύ āϏ⧇āχ āϏāĻŽā§āĻĒāĻ°ā§āϕ⧇ āφāϰāĻ“ āϜāĻžāύ⧁āύ

āύāϤ⧁āύ āϕ⧀ āφāϛ⧇

Study of Functions of real variable y=f(x)