Complex Analysis

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Estas notas constan de lo siguiente
capítulos de una manera fácil y detallada:
Capítulo 1: Conceptos básicos y números complejos
Capítulo 2: Funciones analíticas, regulares u holomorfas
Capítulo 3: Funciones trascendentales elementales
Capítulo 4: Integración compleja
Capítulo 5: Series de potencias y teoremas relacionados
Capítulo 1: Conceptos básicos y números complejos

Introducción a los números complejos
Plano complejo (diagrama de Argand)
Partes reales e imaginarias
Conjugados complejos
Módulo (valor absoluto) y argumento
Forma polar de números complejos
Operaciones con números complejos (suma, resta, multiplicación, división)
Exponenciación compleja
Raíces de números complejos
Geometría plana compleja
Propiedades complejas conjugadas y de valor absoluto
Fórmula de Euler
Aplicaciones en Ingeniería y Física
Capítulo 2: Funciones analíticas, regulares u holomorfas

Definiciones y terminología
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Funciones analíticas y funciones holomorfas
Ejemplos de funciones analíticas
Funciones armónicas
Mapeo conforme
Mapeo de propiedades de funciones analíticas
Analiticidad de funciones elementales
Capítulo 3: Funciones trascendentales elementales

Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Funciones hiperbólicas
Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas
Cortes de ramas y puntos de ramificación
Continuación analítica
La función gamma
La función Zeta
Capítulo 4: Integración compleja

Integrales de línea en el plano complejo
Independencia de ruta y funciones potenciales
Integrales de contorno
Teorema integral de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy
Aplicaciones del teorema de Cauchy
Teorema de Morera
Estimaciones de integrales
Capítulo 5: Series de potencias y teoremas relacionados

Representación en series de potencias de funciones analíticas
Serie de Taylor y teorema de Taylor
Serie Laurent
Singularidades y el teorema del residuo
Analiticidad en el límite
Aplicaciones de la serie Power
Capítulo 6: Singularidades y cálculo de residuos

Clasificación de Singularidades (Singularidades Aisladas, Singularidades Esenciales)
Residuos y teorema de residuos
Evaluación de Residuos
Residuo en el infinito
Aplicaciones del teorema del residuo
Integrales de valor principal
Capítulo 7: Mapeo conforme

Mapeos conformes y sus propiedades
Transformaciones de Moebius
Mapeo conforme de regiones simples
Aplicaciones de mapeo conforme (por ejemplo, resolución de problemas físicos)
Capítulo 8: Integración del contorno

Técnicas de integración de contornos
Integración a lo largo del eje real (lema de Jordania)
Residuos en los polos
Revisión del teorema del residuo de Cauchy
Evaluación de integrales reales mediante integración de contornos
Integración Compleja en Física e Ingeniería
Capítulo 6: Singularidades y cálculo de residuos
Capítulo 7: Mapeo conforme
Capítulo 8: Integración del contorno

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