Complex Analysis

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Essas notas consistem no seguinte
capítulos de maneira fácil e detalhada:
Capítulo 1: Conceitos Básicos e Números Complexos
Capítulo 2: Funções Analíticas ou Regulares ou Holomórficas
Capítulo 3: Funções Transcendentais Elementares
Capítulo 4: Integração Complexa
Capítulo 5: Séries de Potências e Teoremas Relacionados
Capítulo 1: Conceitos Básicos e Números Complexos

Introdução aos Números Complexos
Plano Complexo (Diagrama de Argand)
Partes reais e imaginárias
Conjugados Complexos
Módulo (Valor Absoluto) e Argumento
Forma polar de números complexos
Operações em números complexos (adição, subtração, multiplicação, divisão)
Exponenciação Complexa
Raízes de Números Complexos
Geometria Plana Complexa
Propriedades de Conjugado Complexo e Valor Absoluto
Fórmula de Euler
Aplicações em Engenharia e Física
Capítulo 2: Funções Analíticas ou Regulares ou Holomórficas

Definições e Terminologia
As equações de Cauchy-Riemann
Funções analíticas e funções holomórficas
Exemplos de funções analíticas
Funções Harmônicas
Mapeamento Conforme
Mapeando Propriedades de Funções Analíticas
Analiticidade de Funções Elementares
Capítulo 3: Funções Transcendentais Elementares

Funções Exponenciais
Funções logarítmicas
Funções trigonométricas
Funções Hiperbólicas
Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas
Cortes de galhos e pontos de ramificação
Continuação Analítica
A Função Gama
A Função Zeta
Capítulo 4: Integração Complexa

Integrais de linha no plano complexo
Independência de caminho e funções potenciais
Integrais de contorno
Teorema Integral de Cauchy
Fórmula Integral de Cauchy
Aplicações do Teorema de Cauchy
Teorema de Morera
Estimativas de Integrais
Capítulo 5: Séries de Potências e Teoremas Relacionados

Representação de séries de potências de funções analíticas
Série de Taylor e Teorema de Taylor
Série Laurent
Singularidades e o Teorema do Resíduo
Analiticidade na Fronteira
Aplicações de Séries de Potência
Capítulo 6: Singularidades e Cálculo de Resíduos

Classificação de Singularidades (Singularidades Isoladas, Singularidades Essenciais)
Resíduos e Teorema dos Resíduos
Avaliação de Resíduos
Resíduo no Infinito
Aplicações do Teorema dos Resíduos
Integrais de valor principal
Capítulo 7: Mapeamento Conforme

Mapeamentos Conformes e suas Propriedades
Transformações de Möbius
Mapeamento conforme de regiões simples
Aplicativos de mapeamento conforme (por exemplo, resolução de problemas físicos)
Capítulo 8: Integração de contorno

Técnicas de integração de contorno
Integração ao longo do eixo real (lema de Jordan)
Resíduos nos polos
Teorema do resíduo de Cauchy revisitado
Avaliação de integrais reais usando integração de contorno
Integração Complexa em Física e Engenharia
Capítulo 6: Singularidades e Cálculo de Resíduos
Capítulo 7: Mapeamento Conforme
Capítulo 8: Integração de contorno

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