Untersuchungen über die numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme mit Hilfe von LIE-Reihen und Anwendungen auf die Berechnung von Mehrkörperproblemen

Fritz Reutter · Johannes Knapp

Apr 2013 · Springer-Verlag

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Mittels LIE-Reihen, deren Theorie Prof. Dr. W. GRaBNER (Innsbruck) ausge baut hat, lassen sich - neben vielen anderen Anwendungsmoglichkeiten - sofort die Losungen von Anfangswertproblemen gewohnlicher regularer Differential gleichungssysteme anschreiben. Diese Gestalt der Losungen eignet sich jedoch kaum flir die numerische Auswertung, weil die Reihen meist sehr schwach kon vergieren. Dagegen lassen sich nach W. GRaBNER auf Grund von Umordnungen der Losungsreihen durch Abbrechen der umgeordneten Reihen beliebig gute Naherungen fur die Losung entwickeln. Jede solche Umordnung beruht auf einer Zerlegung des zugeordneten Differentialoperators in eine Summe zweier Bestandteile. Das Auffinden einer fur die numerische Auswertung besonders gunstigen Zerlegung des Operators erforderte bisher nicht nur eine eingehende Kenntnis der Theorie der Methode der LIE-Reihen, sondern stellte auch hohe Anforderungen an das Geschick des Bearbeiters. Indessen ist es nunmehr auch gelungen, ein Verfahren zur numerischen Auffindung einer gunstigen Zerlegung anzugeben. In dem vorliegenden Bericht wird nun die Methode so dargestellt und ausgebaut, daB sie sofort praktisch einsatzbereit ist. Dabei ist es insbesondere gelungen, ziemlich scharfe und leicht durchfuhrbare Fehierkontrollen aufzustellen und eine automatische Schrittweitensteuerung anzugeben. Ais numerisches Beispiel wird das Dreikorperproblem Sonne-Jupiter-achter Jupitermond auf einer elektroni schen Rechenanlage SIEMENS 2002 behandelt. Es wird aber nicht nur gezeigt, daB die Methode als solche zur numerischen Behandlung solcher verwickelten Pro bleme durchaus gut geeignet ist, sondern es wird auch ein Vergleich mit anderen Methoden zur numerischen Behandlung derartiger Differentialgleichungspro bleme angestellt. Es wurden hierfur zwei erst in den letzten Jahren von E.