Finite Differenzen Methoden

Michael Czirr

Apr 2007 · GRIN Verlag

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Studienarbeit aus dem Jahr 2007 im Fachbereich BWL - Bank, Börse, Versicherung, Note: 1,0, Christian-Albrechts-Universität Kiel (Institut für Geld, Währung und Kredit), Veranstaltung: Empirical Finance & Derivative Pricing, Sprache: Deutsch, Abstract: Fundamentaler Bestandteil mathematischer Modelle zur Bewertung von Optionen auf Basiswerte wie Aktien stellt die Lösung partieller Differentialgleichungen dar, deren Ausgestaltung von spezifischen Annahmen unter anderem hinsichtlich der Verteilung von Renditen, der Konstanz von Modellparametern und der Berücksichtigung von Steuern und Gebühren abhängt. Da die Herleitung des theoretischen Rahmens adäquater Bewertungsmodelle nicht Gegenstand dieser Arbeit ist, soll ohne weitere Kritik der einschneidenden Annahmen analog zur ausgewerteten Literatur die Black- Scholes-Differentialgleichung1 als Ausgangspunkt der Preisbestimmung für Aktienoptionen herangezogen werden.2 Die Notwendigkeit des Einsatzes numerischer Methoden, zu denen neben den Verfahren finiter Differenzen auch Monte-Carlo-, Baum- und Finite-Elemente-Modelle zählen, liegt dann darin begründet, dass die Black-Scholes-Gleichung nur im Fall europäischer Optionen analytisch lösbar ist, so dass für die Menge der übrigen Optionsvarianten nur numerische Verfahren die Generierung eines quantitativen Ergebnisses ermöglichen. Erstmalig von Brennan/Schwartz [1977] auf die Bewertung amerikanischer Optionen angewandt, sieht der Grundgedanke der Finite- Differenzen-Methode die Zerlegung der zugrundeliegenden Differentialgleichung in ein endliches System von Differenzengleichungen vor und liefert infolgedessen eine diskrete Approximation der kontinuierlichen Differentialgleichung.3 Aus der iterativen Vorgehensweise dieses Verfahrens resultiert, dass Optionswerte stets für eine Fläche von Kursen des Basiswertes sowie der Optionsrestlaufzeit ermittelt werden und sich nicht wie in geschlossenen Lösungsansätzen auf die alleinige Optionspreisberechnung zu einem gewissen Kurs und Zeitpunkt beschränkt wird. Ziel dieser Arbeit ist es, die Methodik finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung am Beispiel europäischer Optionen zu entwickeln, auf die praktisch relevantere Bewertung amerikanischer Optionen auszuweiten und durch numerische Beispiele der im Anhang befindlichen Matlab 7.1 Implementierungen zu illustrieren. == 1 Vgl. Black/Scholes, 1973, S.673ff. 2 Vgl. Wilmott et al., 1996, S.262 ; Higham, 2004, S.237 ; Seydel, 2000, S.77. 3 Vgl. Brennan/Schwartz, 1997, S.449ff.; Hull, 2006, S.506; Wilmott et al., 1996, S.261.